A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje az adott négyzetlemezt, pedig annak középpontját. Tekintsük az oldalai mint átlók fölé rajzolt négyzetlemezek unióját. Könnyen beláthatjuk, hogy az -ből körüli -os szögű és arányú forgatva nyújtással is származtatható. Megmutatjuk, hogy a keresett síkrész.
Vegyünk ehhez egy tetszőleges négyzetlemezt, amelynek átlója illeszkedik -re. Be kell bizonyitanunk, hogy és az négyzetlemez pontjai. A pontot egy körüli -os elforgatással átvihetjük -be. Ha ebben a forgatásban képe , akkor képe olyan középpontú négyzet, amelynek oldalai oldalaival párhuzamosak. Az és négyzetlemezeknek közös pontja, hiszen és a pont képe, tehát . Az egybevágó és párhuzamos oldalú és négyzetek közös része nem üres, ezért az szakasz felezőpontja a közös részben van, így . Mivel egyenlő szárú derékszögű háromszög, és az átfogó felezőpontja , ezért , tehát az középpontú, -os szögű, arányú forgatva nyújtás az pontot a -ba viszi át. említett származtatása miatt ebből következik, hogy az négyzetlemez pontja. Hasonlót mondhatunk az pontról. Ezzel látjuk, hogy a pontok illeszkednek -re, és mivel konvex, a négyzet is -ben van. Mivel az oldalai mint átlók fölé rajzolt négy négyzetlemez lefedi -et, a keresett síkrész .
Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A megoldásban hallgatólagosan fölhasználtuk, hogy és a lefedő négyzetlapok zárt halmazok. Ha -hez nem számítjuk hozzá a határt, akkor a fenti megoldáshoz hasonlóan megmutatható, hogy a keresett síkrész a nyitott négyzet, akár nyitottnak, akár zártnak tekintjük a lefedő négyzetlapokat. |