Feladat: F.2900 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kálmán Tamás 
Füzet: 1992/október, 300 - 301. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Forgatva nyújtás, Mértani helyek, Négyzetek, Pont körüli forgatás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/március: F.2900

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje N az adott négyzetlemezt, O pedig annak középpontját. Tekintsük az N oldalai mint átlók fölé rajzolt négyzetlemezek N1 unióját. Könnyen beláthatjuk, hogy N1 az N-ből O körüli 45∘-os szögű és 2 arányú forgatva nyújtással is származtatható. Megmutatjuk, hogy N1 a keresett síkrész.

 
 

Vegyünk ehhez egy tetszőleges PQRS négyzetlemezt, amelynek PR átlója illeszkedik N-re. Be kell bizonyitanunk, hogy Q és S az N1 négyzetlemez pontjai. A P pontot egy Q körüli 90∘-os elforgatással átvihetjük R-be. Ha ebben a forgatásban O képe O', akkor N képe olyan O' középpontú N' négyzet, amelynek oldalai N oldalaival párhuzamosak. Az N és N' négyzetlemezeknek R közös pontja, hiszen R∈N és R a P pont képe, tehát R∈N'. Az egybevágó és párhuzamos oldalú N és N' négyzetek közös része nem üres, ezért az OO' szakasz F felezőpontja a közös részben van, így F∈N. Mivel OQO' egyenlő szárú derékszögű háromszög, és az OO' átfogó felezőpontja F, ezért OF:OQ=1:2, tehát az O középpontú, 45∘-os szögű, 2 arányú forgatva nyújtás az F pontot a Q-ba viszi át. N1 említett származtatása miatt ebből következik, hogy Q az N1 négyzetlemez pontja. Hasonlót mondhatunk az S pontról. Ezzel látjuk, hogy a P,Q,R,S pontok illeszkednek N1-re, és mivel N1 konvex, a PQRS négyzet is N1-ben van. Mivel az N oldalai mint átlók fölé rajzolt négy négyzetlemez lefedi N1-et, a keresett síkrész N1.
 

 Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. A megoldásban hallgatólagosan fölhasználtuk, hogy N,N1 és a lefedő PQRS négyzetlapok zárt halmazok. Ha N-hez nem számítjuk hozzá a határt, akkor a fenti megoldáshoz hasonlóan megmutatható, hogy a keresett síkrész a nyitott N1 négyzet, akár nyitottnak, akár zártnak tekintjük a lefedő négyzetlapokat.