Kezdőlap


Feladat:	F.2891	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csergőffy Tibor , Csörnyei Marianna , Marx Gábor , Szeidl Ádám
Füzet:	1992/október, 298. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Legnagyobb közös osztó, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/február: F.2891

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x = x_{1} d$ és $y = y_{1} d,$ ahol $d$ az $x$ és $y$ számok legnagyobb közös osztója, $s$ így $x_{1}$ és $y_{1}$ relatív prímek. Ezeket a kifejezéseket az egyenletbe beírva:

\begin{matrix} d (x_{1} - y_{1}) = \frac{x_{1} y_{1}^{2} + x_{1}^{2} y_{1} + x_{1}^{3}}{y_{1}^{3}} . \end{matrix}

Mivel a bal oldal egész, a jobb oldalnak is egésznek kell lennie. Ehhez szükséges, hogy a jobb oldali tört számlálója ‐ tehát az

x_{1}^{3}

szám is ‐ osztható legyen

y_{1}

-gyel. Mivel

x_{1}

és

y_{1}

relatív prímek, ez csak úgy lehetséges, ha

y_{1} = 1

. Ezzel az egyenlet így alakul:

\begin{matrix} d (x_{1} - 1) = x_{1} + x_{1}^{2} + x_{1}^{3} = (x_{1} - 1) (x_{1}^{2} + 2 x_{1} + 3) + 3. \end{matrix}

Ahhoz, hogy ez teljesülhessen, szükséges, hogy

x_{1} - 1

osztója legyen a

3

-nak. Mivel

x_{1}

pozitív egész, ebből

x_{1} = 2

, ill.

x_{1} = 4

adódik. A

d

-t kifejezve:

d = x_{1}^{2} + 2 x_{1} + 3 + \frac{3}{x_{1} - 1},

amiből

d = 14,

illetve

d = 28

. A megoldások tehát:

x = 28

y = 14

, illetve

x = 112

y = 28

Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn. II. o. t.)