Feladat: F.2890 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Kóczy László ,  Pete Gábor ,  Stőhr Lóránt 
Füzet: 1992/október, 297 - 298. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Egészrész, törtrész függvények, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/február: F.2890

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a {a}+{1a}=1 feltétel ekvivalens azzal, hogy a+1a egész, és |a|≠1. Nyilván

{a}+{1a}=a+1a-[a]-[1a].
Ha {a}+{1a}=1, akkor a+1a egész, és az is igaz, hogy |a|≠1, mivel ellenkező esetben a és 1a is egész, és {a}+{1a}=0 lenne. Megfordítva, ha a+1a egész, és |a|≠1, akkor {a}+{1a} is egész; mivel a törtrészfüggvény 1-nél kisebb nemnegatív értékeket vesz fel, a kifejezés értéke csak 0 és 1 lehet. Mivel azonban |a|≠1, a és 1a közül valamelyik biztosan nem egész, tehát 0 nem lehet.
Észrevételünk szerint elég azt bizonyítani, hogy tetszőleges n pozitív egészre an+1an egész szám, és |an|≠1. Ez utóbbi nyilván igaz, hiszen |an|=|a|n.
Azt, hogy an+1an egész, teljes indukcióval látjuk be. A feladat feltétele szerint ez n=1-re igaz. Az n=2 esetben:
a2+1a2=(a+1a)2-2,ami egész.
Végül, ha an-1+1an-1 és an+1an egész, akkor
an+1+1an+1=(a+1a)(an+1an)-(an-1+1an-1)
is egész (n=2,3,4,...). Ezzel az állítást igazoltuk.