Kezdőlap


Feladat:	F.2889	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Köszegi Botond , Németh Ákos , Párniczky Benedek , Stőhr Lóránt , Újváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1993/április, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszög lefedések, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: F.2889

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $a$ oldalú $A B C D$ négyzetet a három egyenes hat egybevágó téglalapra osztja, akkor a téglalapok átlói $-$ egyszersmind átmérői $-$ $c = \sqrt[]{{(\frac{a}{3})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \frac{\sqrt[]{13}}{6}$ hosszúságúak (1. ábra).

1. ábra

Tételezzük fel, hogy létezik egy

c

-nél kisebb átmérőjű sokszöget adó

f

felosztás. Előrebocsátjuk és hivatkozás nélkül többször is alkalmazzuk Pasch axiómáját: Ha egy egyenes nem illeszkedik egy háromszög egyik csúcsára sem, akkor vagy pontosan két oldalát metszi, vagy egyiket sem, ha pedig illeszkedik valamelyik csúcsra, akkor legfeljebb egy oldalát metszi.

2. ábra

Világos, hogy a négyzetnek van olyan oldala, amelyet az

f

felosztásban egyetlen egyenes oszt ketté, hiszen a három egyenes legfeljebb 6 pontban metszheti a négyzet határvonalát, és ha lenne olyan oldal, amelyet egyik egyenes sem metsz, úgy az ezzel az oldallal szomszédos felosztás-rész átmérője legalább

a > c . A B

-nek választva egy ilyen oldalt, a metszéspont legyen

M

. Jelölje

E

a négyzet

A B

-re merőleges középvonalának

A B

-hez közelebbi harmadolópontját. Az

A B E

háromszög egyenlő szárú, és szárai

c

hosszúságúak. Az

M

-re illeszkedő egyenes nem metszi

A B E

egyik szárát, de egy másik metszi mind a kettőt, hiszen az

f

felosztásban

c

-nél kisebb átmérőjű sokszögek vannak. Ez a másik egyenes a

B C

-t

N

-ben,

D A

-t

L

-ben metszi (2. ábra). Az

L A B N

trapéz középvonala kisebb

\frac{a}{3}

-nál, ezért az egyik alapja,

B N

is. Ennélfogva

N C

nagyobb

\frac{2 a}{3}

-nál és

N D

hosszabb

2 c

-nél.

N D

felezőmerőlegesének a négyzetbe eső részét ‐ lévén

N D

-vel azonos hosszúságú ‐

N L

mellett még egy egyenes osztja. Az ezzel való metszéspontot jelöljük

Z

-vel. Az

N D Z

(esetleg elfajult) háromszög alapja

2 c

-nél, szárai

c

-nél nagyobbak. Ennek a háromszögnek

N L

egyik oldalát sem metszi, a másik két egyenes az

f

felosztásra vonatkozó (indirekt) feltevésünk szerint osztja

N D

-t, de közülük a

Z

-re illeszkedő nem osztja a szárakat; továbbá az egyik szárat ‐ legyen ez

N Z

‐ nem osztja a másik sem (ugyanis ez a másik egyenes

N D

-n kívül már csak az egyik szárat metszheti). Ez azt jelenti, hogy az

f

felosztás nem létezik, hiszen

N Z > c

ellentmond az

f

-re tett feltevésnek.
Végül, mivel

c = \frac{a \sqrt[]{13}}{6} \geq \sqrt[]{13}

, azért a

\geq 6

, tehát a négyzet oldala legalább

6