|
Feladat: |
F.2889 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csorba Péter , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Köszegi Botond , Németh Ákos , Párniczky Benedek , Stőhr Lóránt , Újváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1993/április,
154 - 155. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sokszög lefedések, Indirekt bizonyítási mód, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/január: F.2889 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha az oldalú négyzetet a három egyenes hat egybevágó téglalapra osztja, akkor a téglalapok átlói egyszersmind átmérői hosszúságúak (1. ábra).
1. ábra Tételezzük fel, hogy létezik egy -nél kisebb átmérőjű sokszöget adó felosztás. Előrebocsátjuk és hivatkozás nélkül többször is alkalmazzuk Pasch axiómáját: Ha egy egyenes nem illeszkedik egy háromszög egyik csúcsára sem, akkor vagy pontosan két oldalát metszi, vagy egyiket sem, ha pedig illeszkedik valamelyik csúcsra, akkor legfeljebb egy oldalát metszi.
2. ábra Világos, hogy a négyzetnek van olyan oldala, amelyet az felosztásban egyetlen egyenes oszt ketté, hiszen a három egyenes legfeljebb 6 pontban metszheti a négyzet határvonalát, és ha lenne olyan oldal, amelyet egyik egyenes sem metsz, úgy az ezzel az oldallal szomszédos felosztás-rész átmérője legalább -nek választva egy ilyen oldalt, a metszéspont legyen . Jelölje a négyzet -re merőleges középvonalának -hez közelebbi harmadolópontját. Az háromszög egyenlő szárú, és szárai hosszúságúak. Az -re illeszkedő egyenes nem metszi egyik szárát, de egy másik metszi mind a kettőt, hiszen az felosztásban -nél kisebb átmérőjű sokszögek vannak. Ez a másik egyenes a -t -ben, -t -ben metszi (2. ábra). Az trapéz középvonala kisebb -nál, ezért az egyik alapja, is. Ennélfogva nagyobb -nál és hosszabb -nél. felezőmerőlegesének a négyzetbe eső részét ‐ lévén -vel azonos hosszúságú ‐ mellett még egy egyenes osztja. Az ezzel való metszéspontot jelöljük -vel. Az (esetleg elfajult) háromszög alapja -nél, szárai -nél nagyobbak. Ennek a háromszögnek egyik oldalát sem metszi, a másik két egyenes az felosztásra vonatkozó (indirekt) feltevésünk szerint osztja -t, de közülük a -re illeszkedő nem osztja a szárakat; továbbá az egyik szárat ‐ legyen ez ‐ nem osztja a másik sem (ugyanis ez a másik egyenes -n kívül már csak az egyik szárat metszheti). Ez azt jelenti, hogy az felosztás nem létezik, hiszen ellentmond az -re tett feltevésnek. Végül, mivel , azért a , tehát a négyzet oldala legalább. |
|