Kezdőlap


Feladat:	F.2888	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Imreh Csanád
Füzet:	1992/szeptember, 256. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: F.2888

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A parabola tengelye párhuzamos az $y$ tengellyel, ezért egyenlete $y = a x^{2} + b x + c$ alakú. Mivel érinti az $y = x + 2$ , $y = 3 x - 2$ és $y = - 2 x - 7$ egyenletű egyeneseket, az

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = x + 2, & (1) \\ a x^{2} + b x + c & = 3 x - 2, & (2) \\ a x^{2} + b x + c & = - 2 x - 7 & (3) \end{matrix}

egyenletek mindegyikének (

x

-re) pontosan egy megoldása van. Ennek az a feltétele, hogy az (1), (2), (3) másodfokú egyenletek diszkriminánsa zérus legyen, azaz

\begin{matrix} {(b - 1)}^{2} - 4 a (c - 2) = 0, & (4) \\ {(b - 3)}^{2} - 4 a (c + 2) = 0, & (5) \\ {(b + 2)}^{2} - 4 a (c + 7) = 0 \cdot & (6) \end{matrix}

A (4), (5), (6) egyenletekből álló egyenletrendszerből

a

b

és

c

meghatározható: a (6) és (5), valamint a (6) és (4) egyenletek különbsége

\begin{matrix} 10 b - 5 - 20 a & = 0, \\ 6 b + 3 - 36 a & = 0, \end{matrix}

és ebből az egyenletrendszerből

a = \frac{1}{4}

b = 1

. Ezekkel az értékekkel bármelyik egyenletből

c = 2

adódik. A kapott

a

b

c

értékek kielégítik a (4), (5), (6) egyenleteket, ezért az

y = \frac{1}{4} x^{2} + x + 2

egyenletű parabola az egyetlen, amely eleget tesz a feladat feltételeinek.

Imreh Csanád (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)