A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az öt pont az 1., 2. és 3.ábra szerint helyezkedhet el. A feltételek alapján , és , továbbá vagy .
1. ábra
2. ábra
3. ábra
4. ábra A 4. ábra szerinti helyzet azért nem lehetséges, mert ekkor lenne. Használjuk az ábrák jelöléseit. Legyen mindegyik ábrán és . Először az 1. és 2. ábrák szerinti eseteket nézzük. Az ábrák alapján és . Feladatunk megoldásához elegendő -et meghatározni. Ez mindegyik ábrának megfelelően vagy az , vagy pedig az derékszögű háromszögekből történik. Az előbbi esetben
Mindkét esetben Ennek megfelelően (1)-ből: , (2)-ből pedig . Ezekből az egyenletekből az , ill. az megoldásokat kapjuk, amelyekből miatt az felel meg. Ezért a szabályos háromszög lehet. A 3. ábra szerinti esetben annyi a változás, hogy . Az derékszögű háromszögből
Ezután (3), illetve (4)-ből a következő másodfokú egyenleteket kapjuk:
Ezeket az egyenleteket megoldva: . Mivel nem negatív, lehetséges. Ezért a szabályos háromszög oldala most vagy lehet. Az eredményeket összevetve azt látjuk, hogy a feladatnak négy megoldása van: , , , .
A feltételek alapján egyébként az öt pont könnyen meg is szerkeszthető.
Kotnyek Balázs (Bp., Jedlik Á. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. Az 1. és 2 ábrához tartozó számításokban megengedhettük volna, hogy negatív is legyen. Ezzel megtakaríthattuk volna a 3. ábra szerinti számolásokat. |