Feladat: F.2886 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Németh Ákos 
Füzet: 1992/május, 206 - 207. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Logikai feladatok, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/január: F.2886

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az András és Béla által gondolt szám a, illetve b. A játék elején András ismerte a-t, tudta, hogy b pozitív egész és vagy b=a-1992, vagy b=a+1992; hasonlóan Béla is tudta, hogy a pozitív egész és vagy a=b-1992, vagy a=b+1992. Mindkettőjüknek két lehetőség közül kellett a helyeset kiválasztani.

 

I. Vizsgáljuk meg, miért nem tudta András elsőre kitalálni b-t. Ha a ≤1992 lett volna, akkor Andrásnak könnyű dolga lett volna: b=a-1992 nem lehet, mert a-1992≤0,b pedig pozitív egész. Ha pedig a>1992, akkor a-1992ésa+1992 is pozitív egész, tehát ilyenkor András nem tud dönteni. Tehát András azért nem találta ki elsőre b-t, mert a>1992.
II. Ezután Béla kezdett el gondolkodni. Hozzánk hasonlóan ő is rájött, hogy a>1992, viszont ez neki nem volt elegendő információ. Miért? Mert az ő száma nagyobb volt 2⋅1992=3984-nél. Ha ugyanis b≤3984 lett volna, akkor a=b-1992 nem lett volna lehetséges, mivel b-1992≤3984-1992=1992. Ebben az esetben azonban András és Béla már az első fordulóban kitalálták volna egymás számát.
Ha viszont b>3984, akkor b-1992ésb+1992 is nagyobb, mint 1992, ilyenkor Béla nem tudja a-t.
Az egyetlen ok tehát, ami miatt Béla ,,passzolt'', az, hogy b>3984.
III. Harmadszorra András úgy találhatta ki Béla számát, hogy a b=a-1992 és a b=a+1992 esetek közül sikerült valamelyiket kizárnia. Nyilván ő is rájött, hogy b>3984, és ez azért lehetett elég neki, mert az ő száma 3⋅1992=5976-nál nem volt nagyobb.
Ha ugyanis a>5976 lett volna, akkor András nem tudta volna kitalálni Béla számát, mert a-1992 és a a+1992 is 3984-nél nagyobb lett volna. Így a≤5976, ezért András a b=a-1992 esetet ki tudta zárni, mivel akkor b=a-1992≤3984 lett volna.
Tehát András száma 5976-nál nem volt nagyobb, és ő ebből megállapította, hogy Béla száma a nagyobb: b=a+1992.
IV. Ha mindketten 1-gyel nagyobb számra gondoltak volna, azaz András (a+1)-re, Béla (b+1)-re, akkor
‐András elsőre ugyanígy nem találta volna ki (b+1)-et, mert (a+1)>1992;
‐Béla másodszorra ugyanígy nem tudott volna dönteni, hiszen (b+1)>3984;
‐András ‐ megállapítása szerint ‐ harmadszorra sem tudott volna dönteni, tehát (a+1)>5976.
Arra a következtetésre jutottunk, hogy a≤5976,b=a+1992ésa+1>5976. Ez csak úgy lehetséges, ha a=5976ésb=7968.