Kezdőlap


Feladat:	F.2884	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csikai Szabolcs , Párniczky Benedek
Füzet:	1993/január, 13 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: F.2884

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Felhasználjuk a jól ismert

\begin{matrix} 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = \frac{n (n - 1)}{2} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + {(n - 1)}^{2} = \frac{n (n - 1) (2 n - 1)}{6} \end{matrix}

(2)

azonosságokat. A szokásos jelölésekkel

\begin{matrix} S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2} = a_{1}^{2} + {(a_{1} + d)}^{2} + {(a_{1} + 2 d)}^{2} + ... + {(a_{1} + (n - 1) d)}^{2} = \\ = a_{1}^{2} + (a_{1}^{2} + 2 a_{1} d + d^{2}) + (a_{1}^{2} + 4 a_{1} d + 4 d^{2}) + ... + (a_{1}^{2} + 2 (n - 1) a_{1} d + {(n - 1)}^{2} d^{2}) = \\ = n a_{1}^{2} + 2 (1 + 2 + ... + (n - 1)) a_{1} d + (1^{2} + 2^{2} + ... + {(n - 1)}^{2}) d^{2} = \\ = n a_{1}^{2} + n (n - 1) a_{1} d + \frac{n (n - 1) (2 n - 1)}{6} d^{2} . & (3) \end{matrix}

A feladatbeli sorozatban

d = 3

, tehát

\begin{matrix} S_{n} = n a_{1}^{2} + 3 n (n - 1) a_{1} + \frac{3}{2} n (n - 1) (2 n - 1) . \end{matrix}

(4)

A második feltétel szerint az első

2001

elem négyzetösszege kétszer annyi, mint az első

1001

elemé, azaz

\begin{matrix} S_{2001} = 2 S_{1001} . \end{matrix}

Felhasználva (4)-et:

\begin{matrix} 2001 a_{1}^{2} + 12 006 000 a_{1} + 24 018 003 000 = 2002 a_{1}^{2} + 6 006 000 a_{1} + 6 009 003 000, \end{matrix}

rendezve:

\begin{matrix} a_{1}^{2} - 6 000 000 a_{1} - 18 009 000 000 = 0; \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a_{1} = - 3000 vagy 6 003 000. \end{matrix}

II.megoldás. Ha észrevesszük, hogy a feltételek nyilván teljesülnek a

- 3000, - 2997, ...,3000

sorozatra (amelynek

1001

-edik eleme

0

), láthatjuk: érdemesebb a sorozat elemeit az

1001

-edik elem segítségével kifejezni. Ezzel a módszerrel nincs szükség a (2) azonosságra sem.

\begin{matrix} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{1001}^{2} = \\ = {(a_{1001} - 3000)}^{2} + {(a_{1001} - 2997)}^{2} + ... + {(a_{1001} - 3)}^{2} + a_{1001}^{2} = \\ = 1001 a_{1001}^{2} - 6 (1 + 2 + ... + 1000) a_{1001} + 9 (1^{2} + 2^{2} + ... + 1000^{2}) = \\ = 1001 a_{1001}^{2} - 3 003 000 a_{1001} + 9 (1^{2} + 2^{2} + ... 1000^{2}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} a_{1002}^{2} + ... + a_{2001}^{2} = \\ = {(a_{1001} + 3)}^{2} + {(a_{1001} + 6)}^{2} + ... + {(a_{1001} + 3000)}^{2} = \end{matrix}

= (a_{1001}^{2} + 6 a_{1001} + 9) + (a_{1001}^{2} + 12 a_{1001} + 36) + ...

... + (a_{1001}^{2} + 6000 a_{1001} + 9 000 000) =

\begin{matrix} = 1000 a_{1001}^{2} + 6 (1 + 2 ... + 1000 a_{1001}) + 9 (1^{2} + 2^{2} + ... + 1000^{2}) = \\ = 1000 a_{1001}^{2} + 3 003 000 a_{1001} + 9 (1^{2} + 2^{2} + ... + 1000^{2}) . \end{matrix}

A feltételek szerint ez a két összeg egyenlő, azaz

\begin{matrix} 1001 a_{1001}^{2} - 3 003 000 a_{1001} + 9 (1^{2} + 2^{2} + ... + 1000^{2}) = \\ = 1000 a_{1001}^{2} + 3 003 000 a_{1001} + 9 (1^{2} + 2^{2} + ... + 1000^{2}) . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} a_{1001}^{2} - 6 006 000 a_{1001} = 0. \end{matrix}

Ebből

a_{1001} = 0

vagy

a_{1001} = 6 006 000

, tehát

a_{1} = - 3000

vagy

6 003 000