|
Feladat: |
F.2882 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csörnyei Marianna , Drinka Tibor , Faragó Gergely , Futó Gábor , Gefferth András , Kálmán Tamás , Kotnyek Balázs , Lente Gábor , Marx Gábor , Németh Ákos , Párniczky Benedek , Ratkó Éva , Újváry-Menyhárt Zoltán , Veres Gábor , Weiner Zsuzsa |
Füzet: |
1992/május,
205 - 206. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Magasságvonal, Körülírt kör, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/december: F.2882 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először bebizonyítjuk, hogy az háromszög ‐ ha létezik ‐ hasonló az háromszöghöz.
Ha egybeesik -mel, (ez esetben a háromszög derékszögű és a derékszögű csúcs), akkor is egybeesik -mel. Egyébként az pontok a szakasz Thalész-körén helyezkednek el. Feltételeink szerint , és . (Ha a P pont egybeesik valamelyik csúccsal pl. -val, akkor a átmérőjű kör -beli érintője.) A felsorolt párhuzamosságok miatt pl. a és egyenesek szöge párhuzamos szárú szög a háromszög szögével, ezért vagy , vagy . Így az húrnégyszögből vagy , vagy a . Hasonlóan beláthatjuk, hogy az vagy , vagy , illetve a vagy , vagy . Ha a felsorolt esetekben a szögek aktuális értéke , , , akkor az és az háromszögek valóban hasonlóak. Egyébként még három esetre kell gondolnunk aszerint, hogy az háromszög szögei közül egy, kettő vagy mindhárom az , , szögek kiegészítő szöge: 1. Az háromszög szögei: , , Ekkor amiből , de akkor és a két háromszög most is hasonló. 2. Az háromszög szögei: , , Ez azonban lehetetlen, mert -ből ellentmondás. 3. Az háromszög szögei: , , , ami ugyancsak lehetetlen. Beláttuk tehát, hogy a esetet kivéve, az és az háromszögek hasonlóak. Könnyű észrevenni, hogy ‐ egymáshoz hasonló ‐ háromszögek közül annak a területe nagyobb, amelyiknek a körülírt köre nagyobb; tehát minél nagyobb az átmérő, annál nagyobb lesz az háromszög területe. Ezért az egyenes metszi ki a legnagyobb és a legkisebb területű háromszöget meghatározó , illetve pontot az körülírt köréből. Ha , akkor az egyenes ugyan határozatlan, ám ekkor a távolság állandó, és így területe is állandó.
Veres Gábor (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. Az és háromszögek hasonlóságának bizonyításához nem használtuk ki, hogy a körülírt körön van. Ezért a hasonlóságra vonatkozó állítás a sík bármely pontjára érvényes. |
|