A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -val azt a számtani sorozatot, amelynek differenciája és első eleme (például ). Könnyű ellenőrizni, hogy az | | (1) | sorozatok együttvéve az összes pozitív egész számot tartalmazzák. Valóban, tartalmazza mindazokat a pozitív egészeket, amelyek -vel osztva vagy maradékot adnak; tartalmazza azokat a számokat, amelyek -vel osztva vagy maradékot adnak; azokat, amelyek -et, -öt vagy -et; azokat, amelyek -et vagy -et; végül azokat, amelyek -vel osztva maradékot adnak. Mivel mindegyik lehetséges maradék szerepelt legalább egyszer, a felsorolt öt sorozat valóban tartalmazza az összes pozitív egészt. A baj csak az, hogy az egyik sorozat differenciája a . Az (1)-ben szereplő sorozatok segítségével megadunk néhány sorozatot, amelyek lefedik az összes páros számot, és megadunk néhány további sorozatot, amelyek a páratlan számokat tartalmazzák. Tekintsük a következő sorozatokat: | | (2) | Az első öt éppen az (1)-ben szereplő sorozatok -szorosa; ezek tehát a -tal osztható pozitív egészeket tartalmazzák. Az sorozat azokat a természetes számokat tartalmazza, amelyek -cal oszthatók, de -tal nem; az azokat, amelyek -gyel oszthatók, de -cal nem; végül az azokból a pozitív páros számokból áll, amelyek -gyel nem oszthatók. A (2)-ben megadott sorozatok tehát az összes páros számot tartalmazzák. Tekintsük ezután a következő sorozatokat: | | (3) |
Megmutatjuk, hogy ezek minden olyan (pozitív) páratlan számot tartalmaznak, amely nem osztható -cel. Az és tartalmazzák a -mal nem osztható számokat (ha egy páratlan szám -mal osztva maradékot ad, akkor -tal osztva -öt ad maradékul, ezért az ilyeneket tartalmazza ), míg és együttesen tartalmazzák azokat a -mal osztható páratlan számokat, amelyek -cel nem oszthatók, hiszen az ilyen számok -cal osztva csak vagy maradékot adhatnak. Végül a -cel osztható páratlan számokat a következő sorozatok tartalmazzák: Egy -cel osztható páratlan szám ugyanis -vel osztva vagy maradékot ad. Az tartalmazza azokat, amelyek vagy maradékot adnak; az azokat, amelyek -öt; végül az az összes olyan számot tartalmazza, amely -vel osztva maradékot ad. A (2), (3) és (4) pontokban felsorolt sorozatok tehát az összes pozitív egész számot tartalmazzák. A differenciák szerint felsorolva:
Megjegyzések. 1. Természetesen sok más megoldás is létezik (például kicserélhetjük -ot -ra). Egy másik megoldás (Csörnyei Marianna dolgozata alapján):
2. A feladattal kapcsolatban sok nevezetes megoldatlan kérdés ismert; például lehet-e az összes differencia páratlan? Lehet-e a legkisebb differencia akármilyen nagy? (Ez utóbbi Erdős Pál problémája.) 3. Ha azt is megköveteljük, hogy a sorozatok diszjunktak legyenek, akkor a feladatnak nincs megoldása. Erről részletesebben a KöMaL 1986/4. számában, a 154. oldalon olvashatnak az érdeklődők. |