Kezdőlap


Feladat:	F.2878	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barát János , Csörnyei Marianna , Futó Gábor
Füzet:	1992/április, 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: F.2878

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítandóval ekvivalens egyenlőtlenséghez jutunk, ha mindkét oldalt köbre emeljük:

\begin{matrix} (a + 1) (b + 1) (c + 1) \geq a b c + 3 {\sqrt[3]{a b c}}^{2} + 3 \sqrt[3]{a b c} + 1, azaz \\ (a + b + c) + (a b + a c + b c) \geq 3 {\sqrt[3]{a b c}}^{2} + 3 \sqrt[3]{a b c} . & (2) \end{matrix}

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c} és & (3) \\ \frac{a b + a c + b c}{3} \geq \sqrt[3]{a b \cdot a c \cdot b c} = {\sqrt[3]{a b c}}^{2} . & (4) \end{matrix}

Ezek 3-szorosát összeadva éppen (2)-t kapjuk.

Megjegyzés. Egyenlőség pontosan akkor van, ha (3)-ban és (4)-ben is egyenlőség áll. Ez egyedül

a = b = c

esetén teljesül.