A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy téglalap két részre osztja a síkot. Az a célunk, hogy a második (és minden további) téglalapot úgy vegyük föl, hogy a keletkezett síkrészek száma a lehető legtöbb legyen. Az 1. és 2 ábra szerinti felvétellel a síkrészek száma 2-vel, illetve 3-mal nőtt. Könnyen láthatjuk, hogy az új síkrészek száma akkor lesz a legnagyobb, ha a második téglalap kerülete négy pontban metszi az első téglalap kerületét. Ekkor ugyanis a négy metszéspont meghatározta téglalap mindegyik oldala fölött keletkezik egy-egy új síkrész, amelyeket a 3. ábrán bevonalkáztunk.
Két téglalap tehát maximálisan 2 + 4 részre osztja a síkot. Az előbbi meggondolást alkalmazva, a harmadik téglalap mindkét már fölvett téglalapot 4 ‐ 4 pontban metszve legfeljebb új síkrészt hozhat létre, ezért három téglalap legfeljebb részre osztja a síkot. Azt sejtjük, hogy téglalap legfeljebb részre osztja a síkot. a következőképpen írható: , s így , amit teljes indukcióval igazolhatunk. -re , tehát igaz az állítás. Tegyük fel, hogy ez a képlet -re igaz. Az -edik téglalap az előbbiek mindegyikét pontban metszve metszéspontot hoz létre, s így legfeljebb új síkrész keletkezik. Ezért , tehát az állítás -re is teljesül.
4. ábra Megoldásunk azt is mutatja, hogyan oszthatjuk maximális számú részre a síkot párhuzamos oldalú téglalappal. A 4. ábrán megrajzoltuk az -nek megfelelő esetet. |