|
Feladat: |
F.2864 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Csorba Péter , Futó Gábor , Gefferth András , Hajba Tamás , Kálmán Tamás , Kis Gábor , Lente Gábor , Párniczky Benedek |
Füzet: |
1992/március,
111 - 112. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Beírt kör, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/szeptember: F.2864 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I.megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen az háromszög kerülete , a oldallal párhuzamos érintőszakasz pedig . A beírt kör az , illetve a oldalt az , illetve a pontban érinti.
Az és háromszögek nyilván hasonlóak, a hasonlóság aránya legyen . Az és pontokból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok egyenlősége révén és . Ezért az háromszög kerülete:
Ebből , amit -val szorozva: -et kifejezve: A függvény legnagyobb értéke a helyen van, és a maximuma . Ezért legnagyobb értéke lehet, ami valóban a kerület nyolcadrésze. Ez meg is valósul, ha , azaz .
II. megoldás. Jelöljük a beírt kör sugarát -rel, a oldalhoz tartozó magasságot pedig -mel. Az első megoldásban említett hasonlóság alapján . A háromszög területe kifejezhető a beírt kör sugarával: , amiből . Az így kapott két összefüggésből , vagyis . A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint , ezért , és így , amint azt állítottuk. Egyenlőség pontosan akkor lesz, ha , azaz esetén. Szavakban: akkor, ha a háromszög egyik oldala éppen a kerület negyedrésze, egyben az ehhez tartozó magasság . Ilyen oldal legfeljebb egy lehet.
Futó Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
|