Kezdőlap


Feladat:	F.2861	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dőtsch András , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Kucsera Henrik , Marx Gábor , Molnár-Sáska Gábor , Olaszi Zsolt , Párniczky Benedek , Valkó Benedek
Füzet:	1992/március, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: F.2861

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenség a triviális

\begin{matrix} 0 ⩽ a b {(a - c)}^{2} + b c {(b - a)}^{2} + c a {(c - b)}^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenség átrendezése.

II. megoldás. Alkalmazzuk a pozitív

\frac{a}{\sqrt[]{c}}, \frac{b}{\sqrt[]{a}}, \frac{c}{\sqrt[]{b}}

, illetve

\sqrt[]{c}, \sqrt[]{a}, \sqrt[]{b}

számhármasokra a Cauchy‐Bunyakovszkij‐Schwarz-egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} {(\frac{a}{\sqrt[]{c}} \cdot \sqrt[]{c} + \frac{b}{\sqrt[]{a}} \cdot \sqrt[]{a} + \frac{c}{\sqrt[]{b}} \cdot \sqrt[]{b})}^{2} ⩽ (\frac{a^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b}) (c + a + b), azaz \\ {(a + b + c)}^{2} ⩽ (\frac{a^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b}) (a + b + c) . \end{matrix}

Mivel

a + b + c

pozitív, leoszthatunk vele:

\begin{matrix} a + b + c ⩽ \frac{a^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{b} . \end{matrix}

Ezt pedig

a b c

-vel szorozva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

III. megoldás. A súlyozott számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget fogjuk felhasználni az

\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7}

súlyokkal.

\begin{matrix} a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a = \\ = (\frac{1}{7} a^{3} b + \frac{2}{7} b^{3} c + \frac{4}{7} c^{3} a) + (\frac{2}{7} a^{3} b + \frac{4}{7} b^{3} c + \frac{1}{7} c^{3} a) + (\frac{4}{7} a^{3} b + \frac{1}{7} b^{3} c + \frac{2}{7} c^{3} a) ⩾ \\ ⩾ {(a^{3} b)}^{1 / 7} {(b^{3} c)}^{2 / 7} {(c^{3} a)}^{4 / 7} + {(a^{3} b)}^{2 / 7} {(b^{3} c)}^{4 / 7} {(c^{3} a)}^{1 / 7} + {(a^{3} b)}^{4 / 7} {(b^{3} c)}^{1 / 7} {(c^{3} a)}^{2 / 7} = \\ = a b c^{2} + a b^{2} c + a^{2} b c = a b c (a + b + c) . \end{matrix}

Futó Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

a = b = c

. Ez az első megoldásból közvetlenül látszik, de a másik két megoldásból is könnyen leolvasható.