Kezdőlap


Feladat:	F.2860	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/március, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú diofantikus egyenletek, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: F.2860

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Végezzük el a beszorzást és a köbreemelést, és rendezzük a tagokat a bal oldalra:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2} + 2 y^{3} + x y = 0. \end{matrix}

y = 0

, akkor ez tetszőleges

x

-re teljesül. Tegyük fel, hogy

y \neq 0

; akkor

y

-nal oszthatunk:

\begin{matrix} x^{2} y + 3 x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + x = 0. \end{matrix}

Rendezzük el a tagokat

y

hatványai szerint:

\begin{matrix} 2 y^{2} + (x^{2} - 3 x) y + (3 x^{2} + x) = 0. \end{matrix}

(1)

Ezt az egyenletet úgy tekintjük, mint egy egész együtthatós másodfokú egyenletet, amiben

y

az ismeretlen, és azokat az

x

értékeket keressük, amelyekre az egyenletnek van egész gyöke.
Ahhoz, hogy (1)-nek legyen egész gyöke, szükséges, hogy az egyenlet

D

diszkriminánsa négyzetszám legyen:

\begin{matrix} D = {(x^{2} - 3 x)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (3 x^{2} + x) = x (x - 8) {(x + 1)}^{2} . \end{matrix}

x = - 1

, akkor

D = 0

és

y = - 1

x \neq - 1

, akkor

\frac{D}{{(x + 1)}^{2}} = x (x - 8)

is négyzetszám:

x^{2} - 8 x = k^{2}

, ahol

k

valamilyen nemnegatív egész szám.
Az

x^{2} - 8 x

kifejezést teljes négyzetté alakítva és átrendezve:

\begin{matrix} {(x - 4)}^{2} - k^{2} = 16, \\ (x - 4 - k) (x - 4 + k) = 16. \end{matrix}

A 16 lehetséges szorzattá alakításai (figyelembe véve, hogy

x - 4 - k ⩽ x - 4 + k

), az ezekhez tartozó

x = \frac{(x - 4 - k) + (x - 4 + k) + 8}{2}

értékek, ill. az

y

megfelelő egész értékei:

\begin{matrix} x - 4 - k & x - 4 + k & x & y_{1} & y_{2} \\ 1 & 16 & 12\frac{1}{2} \\ 2 & 8 & 9 & - 6 & - 21 \\ 4 & 4 & 8 & - 10 & - 10 \\ - 16 & - 1 & - 4 \frac{1}{2} \\ - 8 & - 2 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 4 & - 4 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}

A megoldások tehát:

x

tetszőleges egész és

y = 0

x = - 1

és

y = - 1

;

x = 9

és

y = - 6

;

x = 9

és

y = - 21

;

x = 8

és

y = - 10

;

Megjegyzés. Voltak, akik az egyenletet az

y

-nal való osztás után

x

hatványai szerint rendezték:

\begin{matrix} (y + 3) x^{2} + (1 - 3 y) x + 2 y^{2} = 0. \end{matrix}

Ebben az esetben külön foglalkozni kell az

y = - 3

esettel, mert ilyenkor az egyenlet (

x

-ben) nem másodfokú.