|
Feladat: |
F.2858 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csekő Zoltán , Csörnyei Marianna , Párniczky Benedek , Stőhr Lóránt , Varjú Katalin |
Füzet: |
1992/április,
152 - 154. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Beírt kör, Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/május: F.2858 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Felidézünk néhány összefüggést a háromszög beírt és hozzáírt köreinek érintőszakaszai és a kerület bizonyos részei között. Ismeretes, hogy az háromszög beírt körének érintési pontjai közül kettő pl. az csúcstól távolságra van. Ezért az 1. ábra jelölései szerint
1. ábra
| | (1) | Hasonlóan a oldalhoz hozzáírt kör érintési pontjaira: | | (2) |
Az 1. ábrán egy ívvel jelölt merőleges szárú szögpárok révén az és háromszögek hasonlóak, ezért , amiből . A Heron-, illetve a képlet felhasználásával
2. ábra 2. Az (1)‐(3) képleteinket értelemszerűen alkalmazzuk a vizsgált háromszögekre, a továbbiakban ezeknek a kerületét jelentse; vagyis az eddiginek a felét. Az háromszög oldalainak felezőpontjai nyilván teljesítik a feladat feltételeit (2.ábra). Ha is ilyen pontok, akkor mind a , mind pedig a háromszög kerülete . Segítségül vesszük az háromszög beírt körét és a háromszög oldalához hozzáírt kört. Figyelembe véve harmadik egyenlőségét, e két háromszög -vel szemközti oldalát érintő hozzáírt kör ugyanazokban a pontokban érinti a -n átmenő oldalak egyenesét ‐ éspedig azokban a és pontokban, amelyekre ‐ ezért e két említett kör azonos. Az (1) egyenlőségek szerint , ahol az háromszög beírt körének érintési pontja, (2) szerint pedig , ahol a háromszög hozzáírt körének érintési pontja. Mivel , azért . Ez azt jelenti, hogy a és körök ugyanabban az pontban érintik az szakaszt, és a a belsejében van. Ezért az szakasznak nem lehet -val közös pontja, hiszen érinti a kört. (Kivéve, ha és egybeesik az és pontokkal.) Azt is látjuk, hogy a kör az egyenes másik partján van, mint a pont. Hasonló elmondható a és szakaszokra is, tehát az háromszög tartalmazza a kört, anélkül, hogy oldalainak -val közös pontja lenne. Pontosabban szólva, ha az pontok között van olyan, amelyik nem esik egybe az valamelyikével, akkor az háromszögnek van olyan oldala, amelyiknek nincs közös pontja a körrel. Ezért ennek a háromszögnek a beírt köre -énál nagyobb sugarú, és a formulából következően területe nagyobb, mint az háromszög területe.
3. Jelöljük az , illetve háromszög területét rendre illetve -fel. Mivel a és a háromszög -vel szemközti oldalához tartozó hozzáírt kör azonos, (3) alapján | |
Hasonlóan felírva -t és -t, majd a három egyenlőséget összeszorozva: | |
A jobb oldalon a törtet -sel bővítve és a Heron képletet alkalmazva kapjuk: | | (4) |
Korábbi eredményünk szerint t>tF, és így (4)-ből Könnyű belátni, hogy tA+tB+tC+t=4tF, tehát A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján
tA⋅tB⋅tC≤(tA+tB+tC3)3,amit (6)-tal egybevetvetA⋅tB⋅tC<tF3.(7)
Az (5) és (7) egyenlőtlenségek egymásnak ellentmondóak. Ez azt jelenti, hogy az F1,F2,F3 pontokon kívül nincs olyan ponthármas, amely kielégítené a feladat feltételeit. Párniczky Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A feladat állítása következménye az N. D. Kazarinoff: Geometriai egyenlőtlenségek c. könyv 198. oldalán található tételnek. (Ez a tétel azt mondja ki, hogy a négy háromszög közül nem az A1B1C1 kerülete a legkisebb.) |
|