Feladat: F.2853 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ratkó Éva 
Füzet: 1992/január, 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térfogat, Térelemek és részeik, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/április: F.2853

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABCD tetraéder AB élének felezőpontja E, a CD él felezőpontja pedig G. Az E és G pontokon átmenő CED sík a tetraédert két egyenlő térfogatú részre vágja. Ugyanis a CE súlyvonal felezi az ABC háromszög területét, ezért az AECD és EBCD tetraéderek AEC és EBC alapterülete megegyezik, továbbá egybeesik a D-ből húzható magasságuk is.

 
 

Forgassuk el a CED síkot a GE egyenes körül. Az elforgatott sík a tetraédert az EFGH négyszögben metszi. Azt állítjuk, hogy az elforgatott sík is felezi a tetraéder térfogatát. Tekintsük az EBCD tetraédert. Ebből az elforgatott sík egyrészt levágja az EGH alapú, D csúcsú gúlát, másrészt hozzáveszi az EGF alapú, C csúcsú gúlát. Mivel a tetraéder BD és AC éle egy-egy EG-vel párhuzamos síkba foglalható, az F és H pontok egyenlő távolságra vannak EG-től. Ezért az EGF háromszög és EGH háromszög területe egyenlő. Tekintve, hogy a G pont a CD él felezőpontja, a C és D pontoknak is EFGH síktól való távolsága ugyanakkora, ezért az említett két gúla magassága is megegyezik, tehát a térfogata is egyenlő. Ez azt jelenti, hogy az elforgatott sík is felezi a tetraéder térfogatát.
A kettévágó sík GE körüli forgatása közben pl. az F pont a CA szakaszon mozog A felé. Ha F egybeesik A-val, újra előáll a megoldás első részében leírt helyzet, az elforduló sík ABG-be jut. Ha az ABG síkot GE körül tovább forgatjuk, a megoldás második részében leírtak ismétlődnek.
 

 Ratkó Éva (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján