A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az tetraéder élének felezőpontja a él felezőpontja pedig Az és pontokon átmenő sík a tetraédert két egyenlő térfogatú részre vágja. Ugyanis a súlyvonal felezi az háromszög területét, ezért az és tetraéderek és alapterülete megegyezik, továbbá egybeesik a -ből húzható magasságuk is.
Forgassuk el a síkot a egyenes körül. Az elforgatott sík a tetraédert az négyszögben metszi. Azt állítjuk, hogy az elforgatott sík is felezi a tetraéder térfogatát. Tekintsük az tetraédert. Ebből az elforgatott sík egyrészt levágja az alapú, csúcsú gúlát, másrészt hozzáveszi az alapú, csúcsú gúlát. Mivel a tetraéder és éle egy-egy -vel párhuzamos síkba foglalható, az és pontok egyenlő távolságra vannak -től. Ezért az háromszög és háromszög területe egyenlő. Tekintve, hogy a pont a él felezőpontja, a és pontoknak is síktól való távolsága ugyanakkora, ezért az említett két gúla magassága is megegyezik, tehát a térfogata is egyenlő. Ez azt jelenti, hogy az elforgatott sík is felezi a tetraéder térfogatát. A kettévágó sík körüli forgatása közben pl. az pont a szakaszon mozog felé. Ha egybeesik -val, újra előáll a megoldás első részében leírt helyzet, az elforduló sík -be jut. Ha az síkot körül tovább forgatjuk, a megoldás második részében leírtak ismétlődnek.
Ratkó Éva (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján |