Kezdőlap


Feladat:	F.2852	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakos Tamás , Csörnyei Marianna , Elek Márta , Erben Péter , Futó Gábor , Kálmán Tamás , Kotnyek Balázs , Lente Gábor , Molnár László , Molnár-Sáska Gábor , Párniczky Benedek , Stőhr Lóránt , Szalkai Ákos , Tóth Csaba
Füzet:	1992/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Szögfelező egyenes, Beírt kör, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Párhuzamos szelők tétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: F.2852

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy $O A \cdot O B \cdot O C = 4 r^{2} \cdot R$ (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye II. 434/ $n$ feladat).

Ezt felhasználva a bizonyítandó állítás így írható:

\begin{matrix} O A_{0} \cdot O B_{0} \cdot O C_{0} \leq \frac{O A \cdot O B \cdot O C}{8}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{O A_{0} \cdot O B_{0} \cdot O C_{0}}{O A \cdot O B \cdot O C} \leq \frac{1}{8} . \end{matrix}

(1)

A szögfelező osztásarányáról szóló tétel és a párhuzamos szelődarabok arányára vonatkozó tétel szerint pl.

\frac{O A_{0}}{O A}

így számítható ki az oldalakkal:

\begin{matrix} \frac{O A_{0}}{O A} = \frac{B A_{0}}{B A} = \frac{B C}{B D} = \frac{a}{b + c} . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy

\frac{O B_{0}}{O A} = \frac{b}{a + c}

és

\frac{O C_{0}}{O C} = \frac{c}{a + b} .

Ezért (1)-gyel és egyúttal a bizonyítandó egyenlőtlenséggel ekvivalens a következő:

\begin{matrix} \frac{a}{b + c} \cdot \frac{b}{a + c} \cdot \frac{c}{a + b} \leq \frac{1}{8}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a b c \leq \frac{b + c}{2} \cdot \frac{a + c}{2} \cdot \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

(2)

Tekintve, hogy

a \cdot b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2},

(2) már nyilvánvaló. Azt is láthatjuk, hogy egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

a = b = c .