Feladat: F.2851 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Futó Gábor ,  Imreh Csanád ,  Molnár László ,  Tóth Csaba 
Füzet: 1992/május, 199. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Paralelogrammák, Párhuzamos szelők tétele, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/április: F.2851

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Legyen a szerkesztendő negyedik paralelogramma‐csúcs P. Az O-n át e-vel és f-fel húzott párhuzamosok a paralelogramma oldalait a B,G, illetve C,H pontokban metszik.

 
 

Használjuk az ábra további jelöléseit is. Mivel az O pont a paralelogramma EF átlójára illeszkedik, az OGPH és OBAC paralelogrammák területe egyenlő. (Ez abból következik, hogy az előbbi paralelogrammát az EGOés azOHF háromszöggel, az utóbbit az ECOés azOBF háromszöggel egyesítve egyenlő területű háromszögeket kapunk.) A két paralelogramma területének egyenlősége azt jelenti, hogy r⋅m=OB⋅d, ahol r a kör sugara, m és d pedig az OPH háromszög, illetve az OBAC paralelogramma magassága. Az előbbi egyenletet átrendezve: md=OBr, amiből m negyedik arányosként megszerkeszthető, hiszen d, OB és r adottak. Ezután az OPH háromszög megszerkeszthető az OP=r oldalából, az ezzel szemközti 180∘-α szögből és az OP oldalhoz tartozó m magasságból. A megszerkesztett háromszög akármelyik, OP-től különböző oldalát OH=BF szakaszként B-ből fölmérjük az f egyenesre, és kapjuk az F pontot, amellyel a paralelogramma már megszerkeszthető. Mivel az OH oldal általában kétféleképpen választható, és B-ből f-re mindkét irányba fölmérhető, a feladatnak legfeljebb négy megoldása van. A megoldhatóság feltétele az OPH háromszögnek az OP, 180∘-α, m adatokból való megszerkeszthetősége, azaz m≤r2⋅tg α2   , továbbá az, hogy a kapott F pontokból e-vel húzott párhuzamos messe a k kört. (Az ábrán feltüntettük az AE'P'F' megoldást is.)