Kezdőlap


Feladat:	F.2850	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bagyinszki Róbert , Csörnyei Marianna , Lente Gábor , Magó Kálmán , Molnár-Sáska Gábor , Párniczky Benedek , Pór Attila , Révész Ádám , Stőhr Lóránt , Szalkai Ákos , Újváry-Menyhárt Zoltán , Wiener Gábor
Füzet:	1992/január, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: F.2850

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy két $x^{2} + 3 y^{2}$ alakú szám szorzata is felírható ilyen alakban. Valóban, ha $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ egész számok, akkor

\begin{matrix} (x_{1}^{2} + 3 y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + 3 y_{2}^{2}) = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 x_{1}^{2} y_{2}^{2} + 3 x_{2}^{2} y_{1}^{2} + 9 y_{1}^{2} y_{2}^{2} = \\ = {(x_{1} x_{2} + 3 y_{1} y_{2})}^{2} + 3 {(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})}^{2} . \end{matrix}

Legyen a feladatbeli két szám

a

és

b

. Bebizonyítjuk, hogy

a^{2} - a b + b^{2}

x^{2} + 3 y^{2}

alakú és mivel

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}),

ebből az állítás az előbbiek alapján következik.
Ha

a

és

b

egyező párosságú, akkor

\begin{matrix} a^{2} - a b + b^{2} = {(\frac{a + b}{2})}^{2} + 3 {(\frac{a - b}{2})}^{2}, \end{matrix}

ha vegyes párosságúak és pl.

a

páros, akkor

\begin{matrix} a^{2} - a b + b^{2} = {(\frac{a}{2} - b)}^{2} + 3 {(\frac{a}{2})}^{2}, \end{matrix}

egy-egy megfelelő felírás.

Lente Gábor (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)