Kezdőlap


Feladat:	F.2848	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Jelasity Márk , Ratkó Éva
Füzet:	1992/február, 66 - 67. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Kombinatorika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: F.2848

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(A permutációk írásmódjáról és a permutációcsoportok néhány alapvető tulajdonságáról lásd Pelikán József Permutációcsoportok című cikkét az 1991/4. számban.)
Legyen $π (i)$ annak a helynek a sorszáma, ahova az $i$ -edik lap kerül egy keverés során $(i = 1,2, ...,13)$ ; $π$ az $1,2, ...,13$ számok egy permutációja.
Mivel az $i$ -edik lap az első keverés során a $π (i)$ -edik helyre kerül, onnan pedig a második keverés során a $π (π (i))$ -edik helyre, a kétszeri keverésnek a $π^{2}$ permutáció felel meg. A feladat szövege alapján:

\begin{matrix} π^{2} = (\binom{1}{8} \binom{2}{12} \binom{3}{6} \binom{4}{7} \binom{5}{9} \binom{6}{11} \binom{7}{13} \binom{8}{4} \binom{9}{2} \binom{10}{1} \binom{11}{10} \binom{12}{3} \binom{13}{5}) = \\ = (1 8 4 7 13 5 9 2 12 3 6 11 10) . & (1) \end{matrix}

Láthatjuk, hogy

π^{2}

egyetlen, 13 hosszúságú ciklus. Ebből következik, hogy

π

is egyetlen ciklusból áll, mert ha

π

legalább 2 (akár egyelemű) ciklusból állna, akkor

π^{2}

-nek is legalább két ciklusa lenne.

Legyen

π = (1 a_{1} a_{2} ... a_{12})

, akkor

π^{2} = (1 a_{2} a_{4} a_{6} ... a_{10} a_{12} a_{1} a_{3} a_{5} ... a_{11})

. Ezt (1)-gyel összevetve azt kapjuk, hogy

a_{2} = 8, a_{4} = 4, a_{6} = 7, a_{8} = 13, a_{10} = 5, a_{12} = 9,

a_{1} = 2, a_{3} = 12, a_{5} = 3, a_{7} = 6, a_{9} = 11, a_{11} = 10

, vagyis

\begin{matrix} π = (1 2 8 12 4 3 7 6 13 11 5 10 9) = \\ = (\binom{1}{2} \binom{2}{8} \binom{3}{7} \binom{4}{3} \binom{5}{10} \binom{6}{13} \binom{7}{6} \binom{8}{12} \binom{9}{1} \binom{10}{9} \binom{11}{5} \binom{12}{4} \binom{13}{11}) . \end{matrix}

A kártyák sorrendje az első keverés után: 10, 2, 5, Király, Dáma, 8, 4, 3, Bubi, 6, Ász, 9, 7.
Megjegyzés. Mivel

π

egy 13 hosszúságú ciklus, a

π = π^{13} \cdot π = {(π^{2})}^{7}

képletből is kiszámitható

π