Kezdőlap


Feladat:	F.2847	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Csekő Zoltán , Csörnyei Marianna , Erben Péter , Hajnal József , Imreh Csanád , Jelasity Márk , Kén Gábor , Komócsi Sándor , Kórász Tamás , Lente Gábor , Maier Norbert-Zsombor , Miklós György , Molnár-Sáska Gábor , Olaszi Zsolt , Papolczy Péter , Párniczky Benedek , Pór Attila , Révész Ádám , Szalkai Ákos , Tóth Csaba , Újváry-Menyhárt Zoltán , Varga Emese , Wiener Gábor
Füzet:	1992/január, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Téglatest, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: F.2847

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder egyik lapjának oldalait $a, b$ és $c$ -vel. Legyen a $c$ -vel szemközti szög $60^{\circ} .$ A tetraéder hálózatát elképzelve láthatjuk, hagy a lapok egybevágósága csak úgy lehetséges, ha mindegyik csúcsból egy $a,$ egy $b,$ illetve $c$ hosszúságú él indul ki. Ebből következik, hogy a szemközti élek egyenlők. Ismeretes, hogy minden tetraéder köré írható (két) paralelepipedon úgy, hogy a tetraéder élei a paralelepipedon lapátlói. Ez a paralelepipedon most téglatest lesz, hiszen szemközti lapjain az átlók egyenlők. Legyenek a téglatest élei az ábra szerint $x, y, z .$

A téglatest köré írt gömb egyben a tetraéder körülírt gömbje is, hiszen a tetraéder mindegyik csúcsán átmegy. Ezért a téglatest testátlója

23 cm,

és így

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 23^{2} . \end{matrix}

(1)

A tetraéder éleire mint a téglatest lapátlóira a Pitagorasz-tételt alkalmazva:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a^{2}; y^{2} + z^{2} = b^{2}; z^{2} + x^{2} = c^{2} . \end{matrix}

Ezeket az egyenlőségeket összeadva, majd (1)-et fölhasználva a következőt kapjuk:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 \cdot 23^{2} = 1058. \end{matrix}

(2)

A tetraéder egy lapjára a koszinusztételt alkalmazva:

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - a b . \end{matrix}

(3)

Ezt így is írhatjuk:

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} = c^{2} - a b, \end{matrix}

amiből látható, hogy

c^{2} \geq a b .

(2) és (3)-ból:

\begin{matrix} a b + 2 c^{2} = 1058, \end{matrix}

(4)

ezért a

c^{2} \geq a b

összefüggést figyelembe véve

3 c^{2} \geq 1058,

és így

c \geq 19.

c

kisebb, mint a körülírt gömb átmérője, ezért

19 \leq c < 23.

Azt is látjuk, hogy

c

nem lehet páros szám. Ha ugyanis

c

páros lenne, akkor (3)-ból az következne, hogy

a

is,

b

is páros. De ha mindhárom él páros, akkor (2)-ben a bal oldal osztható lenne

4

-gyel, míg a jobb oldal csak

2

-vel. Ezért

c

nem páros, és így csak

c = 19

vagy

c = 21

lehet. Szorozzuk a (4) egyenlet mindkét oldalát

3

-mal és adjuk a kapott egyenletet (3)-hoz:

\begin{matrix} c^{2} + 3 \cdot 1058 = a^{2} + b^{2} - a b + 3 (a b + 2 c^{2}), vagyis 3174 - 5 c = {(a + b)}^{2} . \end{matrix}

Ez azt mutatja, hogy a

3174 - 5 c^{2}

szám teljes négyzet. Ez csak a

c = 19

mellett teljesül, tehát

c = 19

. Utóbbi egyenletünkből

{(a + b)}^{2} = 37^{2}

, tehát

a + b = 37

, (4)-ből pedig

a \cdot b = 336

. E két egyenletből

a = 16;