Kezdőlap


Feladat:	F.2845	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Bagyinszki Róbert , Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Hajnal József , Imreh Csanád , Kórász Tamás , Lente Gábor , Maier Norbert Zsombor , Monori András , Párniczky Benedek , Pór Attila , Stőhr Lóránt , Szalkai Ákos , Tóth Csaba , Ujváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1991/november, 386 - 387. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, Hossz, kerület, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szinusztétel alkalmazása, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: F.2845

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a derékszögű háromszög átfogóját $c$ -vel, egyik hegyesszögét $α$ -val. Ekkor a kerület $c + c \cdot sin α + c \cdot cos α = 8$ , és így

\begin{matrix} c = \frac{8}{1 + sin α + cos α} = \frac{8}{1 + sin α + sin (90^{\circ} - α)} . \end{matrix}

sin α + sin β = 2 \cdot sin \frac{α + β}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2}

azonosság alapján:

\begin{matrix} c = \frac{8}{1 + 2 \cdot sin 45^{\circ} \cdot cos (α - 45^{\circ})}, \end{matrix}

amely alakból jól látható, hogy

c

pontosan akkor minimális a

0^{\circ} < α < 90^{\circ}

intervallumban, ha

α = 45^{\circ}

. Tehát a

8

egység kerületű derékszögű háromszögek közül az egyenlő szárúnak legkisebb az átfogója.

II. megoldás. Legyen a derékszögű háromszög átfogója

c

, egyik befogója

a

, így a másik befogó

8 - a - c

. A Pitagorasz-tétel szerint

c^{2} = a^{2} + {(8 - a - c)}^{2}

, amelyből

c = \frac{a^{2} - 8 a + 32}{8 - a}

. Alakítsuk

c

-t a következőképpen:

\begin{matrix} c = \frac{{(8 - a)}^{2} + 8 a - 32}{8 - a} = \frac{{(8 - a)}^{2} + 8 (a - 8) + 32}{8 - a} = 8 - a + \frac{32}{8 - a} - 8. \end{matrix}

Mivel

8 - a > 0

, a

8 - a + \frac{32}{8 - a}

összeget a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján becsülhetjük:

\begin{matrix} 8 - a + \frac{32}{8 - a} \geq 2 \cdot \sqrt[]{(8 - a) \cdot \frac{32}{8 - a}} = 2 \sqrt[]{32} . \end{matrix}

Ezért

c

pontosan akkor a legkisebb, ha

8 - a = \frac{32}{8 - a}

, tehát ha

a = 8 - 4 \sqrt[]{2}

. Ekkor

c = 8 \sqrt[]{2} - 8

, és némi számolással adódik, hogy a másik befogó is

8 - 4 \sqrt[]{2}

III. megoldás. A feladat következő általánosítását igazoljuk: Ha egy háromszög kerülete

K

és egyik szöge

γ

, akkor a

γ

-val szemközti

c

oldal pontosan akkor minimális, ha a másik két oldal egyenlő hosszúságú.
A szokásos jelöléseket és a szinusztételt alkalmazva:

\begin{matrix} K = \frac{c \cdot sin α}{sin γ} + \frac{c \cdot sin β}{sin γ} + c, azaz K = \frac{c}{sin γ} (sin α + sin β + sin γ), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} c = \frac{K \cdot sin γ}{sin α + sin β + sin γ} . \end{matrix}

Az I. megoldásban látottakhoz hasonlóan

\begin{matrix} sin α + sin β = 2 \cdot sin \frac{180^{\circ} - γ}{2} \cdot cos \frac{α - β}{2} . \end{matrix}

Ezért, tekintve, hogy

sin \frac{180^{\circ} - γ}{2} > 0

c

pontosan akkor minimális, amikor

cos \frac{α - β}{2}

maximális, tehát ha

α = β

Bagyinszky Róbert (Békéscsaba, Széchenyi I. Közg. Szki., III. o. t.)