Feladat: F.2844 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Futó Gábor ,  Kórász Tamás ,  Kún Gábor ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Papolczy Péter ,  Perlaki Tamás ,  Pór Attila ,  Ujváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1991/december, 454 - 455. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Polinomok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/március: F.2844

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha n=0, azaz p konstans, akkor az állítás nyílván igaz, hiszen

|p-1|+|p-3|≧|(p-1)-(p-3)|=2,
amiből következik, hogy |p-1|≧1 vagy |p-3|≧1.
Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=m-re. Megmutatjuk, hogy ebből következik n=m+1-re is.
Legyen p (m+1)-edfokú polinom, és tegyük fel, hogy az állítással ellentétben minden 0≦k≦m+2 egész számra
|p(k)-3k|<1.

Tekintsük most a következő polinomot:
q(x)=p(x+1)-p(x)2.

Mivel a p(x+1) és p(x) polinomok főegyütthatója megegyezik, p(x+1)-p(x)-ben az (m+1)-edfokú tag kiesik, vagyis q foka legfeljebb m. Indirekt feltevésünk szerint minden 0≦k≦m+1 egészre
|p(k)-3k|<1
és
|p(k+1)-3k+1|<1,
amiből
|q(k)-3k|=|p(k+1)-p(k)2-3k|=|(p(k+1)-3k+1)-(p(k)-3k)2|≦
≦|p(k+1)-3k+1|+|p(k)-3k|2<1.

Tehát q egy olyan legfeljebb m-edfokú polinom, amelyre teljesül, hogy minden 0≦k≦m+1 egészre
|q(k)-3k|<1.

Ez azonban ellentmond az indukciós feltevésnek; az állítás tehát igaz.