|
Feladat: |
F.2844 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Kórász Tamás , Kún Gábor , Molnár-Sáska Gábor , Papolczy Péter , Perlaki Tamás , Pór Attila , Ujváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1991/december,
454 - 455. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Polinomok, Teljes indukció módszere, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/március: F.2844 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha , azaz konstans, akkor az állítás nyílván igaz, hiszen | | amiből következik, hogy vagy Tegyük fel, hogy az állítás igaz -re. Megmutatjuk, hogy ebből következik -re is. Legyen -edfokú polinom, és tegyük fel, hogy az állítással ellentétben minden egész számra Tekintsük most a következő polinomot: Mivel a és polinomok főegyütthatója megegyezik, -ben az -edfokú tag kiesik, vagyis foka legfeljebb . Indirekt feltevésünk szerint minden egészre és amiből | | | |
Tehát egy olyan legfeljebb -edfokú polinom, amelyre teljesül, hogy minden egészre Ez azonban ellentmond az indukciós feltevésnek; az állítás tehát igaz. |
|