Kezdőlap


Feladat:	F.2841	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Futó Gábor
Füzet:	1991/október, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: F.2841

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit.

A B

húr

K

felezőpontja egyben az

A B

átmérőjű kör középpontja. Az

A B

-re

K

-ban emelt merőleges a két kört a

C

, illetve a

C'

pontban metszi. Legyen

M_{1}

egy osztópont

A B

-n. Az itt állított merőleges messe a félkört a

D'

pontban,

O D'

és a negyed körív metszéspontja pedig legyen

D

. Jelöljük a

C

C'

D'

D

csúcsokkal meghatározott sarlórész területét

t (C C' D' D)

-vel . Ezt a területet úgy kaphatjuk meg, hogy az

O K D'

háromszög és a

K C' D'

körcikk területének összegéből kivonjuk az

O C D

körcikk területét, tehát

\begin{matrix} t (C C' D' D) = t (O K D') + t (K C' D') - t (O C D) . \end{matrix}

(1)

D' O C' ∢ = α

kerületi szög révén

D' K C' ∢ = 2 α

. Legyen

A K = K B = 1

, így

O C = O A = \sqrt[]{2}

. A

K C' D'

körcikk területe

t (K C' D') = (1^{2} \cdot π \cdot 2 α) / 360 =

= (π \cdot α) / 180

, az

O C D

körcikk területe pedig

\begin{matrix} t (O C D) = \frac{{(\sqrt[]{2})}^{2} \cdot π α}{360} = \frac{π \cdot α}{180}; \end{matrix}

a két terület tehát egyenlő. Ezért (1)-ből az következik, hogy

t (C C' D' D) = t (O K D')

. Az

O K D'

háromszög területe viszont ugyanakkora, mint az

O K M_{1}

háromszögé, hiszen

O K

alapjuk és

K M_{1}

magasságuk is megegyezik. Eszerint a

C C'

határú sarlórészek területe arányos az

M_{1}

pont

K

-tól való távolságával.
Tegyük fel ezután, hogy

A B

-t felosztottuk

n

egyenlő részre. Legyen először

n

páros, ekkor

K

is osztópont. A

K

ponttól

A

felé haladva legyenek az osztópontok

M_{1}

M_{2}

M_{3}

stb. Az előbbiek szerint a

K M_{2}

szakasz "fölötti'' sarlórész területe kétszer akkora, mint a

K M_{1}

fölöttié, tehát a

C C'

-től számított első és második sarlórész területe egyenlő. Hasonlóan láthatjuk be a további sarlórészek területének egyenlőségét. Ha

n

páratlan, akkor

2 n

egyenlő részre osztással az előbbi gondolatmenet szerint

2 n

egyenlő területű sarlórészt kapunk, és ezeket

A

-ból indulva kettesével egybefoglalva kapunk

n

egyenlő területű sarlórészt.