|
Feladat: |
F.2840 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Battyányi Péter , Csörnyei Marianna , Elek Márta , Erben Péter , Fleiner Balázs , Futó Gábor , Horváth István , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Komócsi Sándor , Kórász Tamás , Lente Gábor , Molnár-Sáska Gábor , Párniczky Benedek , Sterner Péter , Stőhr Lóránt , Szalkai Ákos , Újváry-Menyhárt Zoltán , Varga Emese |
Füzet: |
1992/január,
8 - 11. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/február: F.2840 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Ismeretes, hogy a húrnégyszög területe ahol (Ez a tétel megtalálható Reiman István: A geometria és határterületei c. könyvének 246. oldalán.) Mivel az adott négyszög érintőnégyszög is, azaz és Ezért b) Könnyű belátni, hogy az érintőnégyszög területe | |
| | (1) |
Az ábra és háromszögének területe legyen . Ekkor ismert összefüggés szerint és , aminek alapján és ebből Hasonlóan kapjuk az átló létrehozta két háromszögből: (2)és (3)-ból: | | (4) |
Ptolemaiosz tétele szerint és így az a) részben bizonyított területképletet is felhasználva (4) a következőképpen alakul: | | (5) |
Azt kell bizonyítanunk, hogy, azaz Az (1) és (5) összefüggéseket felhasználva azt kell belátnunk, hogy | | amivel ekvivalens a következő: | | (6) | A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján (7) | |
Az utolsó egyenlőtlenséget négyzetre emelve és a (7)-ben szereplő egyenlőtlenségekkel összeszorozva a (6) egyenlőtlenség bizonyítását kapjuk, ami egyben a feladat b) állításának igazolása is.
Szalkai Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
II. megoldás. a) Az ábra jelöléseit használva, a koszinusztétel szerint , illetve E két összefüggésből | | (1) |
Mivel a négyszög érintőnégyszög is, tehát . Az utóbbi egyenlőséget négyzetre emelve (1) és (2)-ből: amiből Mivel , és így (3) alapján | | (4) |
Fejezzük ki ezután a négyszög területét az és háromszögek területének összegeként: | | ahol közben felhasználtuk (4)-et. Ebből láthatjuk, hogy amint azt bizonyítani kellett. b) Ismeretes, hogy az érintőnégyszög területe illetve az a) részben bizonyítottak szerint A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint ezért a négyszög területének kétféle felírása alapján igaz a következő: | | amiből azaz Jelöljük az átlók szögét -val. Ekkor a négyszög területe , tehát . Nyilvánvaló, hogy illetve ezért Az (5) és (6) összefüggésekből amint azt bizonyítani kellett.
Varga Emese (Kunszentmárton, József A. Gimn., III. o. t.)
III. megoldás. Csak a feladat b) részére adunk újabb megoldást. N. Fusstól ‐ aki Euler tanítványa volt ‐ származik a következő tétel: Egy húr - és érintőnégyszög körülírt körének sugara beírt körének sugara a középpontok távolsága Ekkor fennáll a összefüggés. Bizonyítása megtalálható H. Dörrie: A diadalmas matematika c. könyvének 208. oldalán (Gondolat Kiadó, 1965). Ebben az összefüggésben a tagot mindkét oldalon elhagyva a következő egyenlőtlenséget kapjuk: amiből
Párniczky Benedek, (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)
Megjegyzések. 1. A Fuss-féle tétel háromszögre vonatkozó megfelelőjét, már Euler közölte. Fuss megállapította az és közti összefüggést az öt-, hat-, hét- és nyolcszögre is. 2. Néhány megoldónk Molnár Emil: Matematikai Versenyfeladatok gyűjteménye c. könyvének (Tankönyvkiadó, 1974) 550. oldalán található tételre, Poncelet tételére építi a feladat b) részének megoldását. A könyv a tételt bizonyítás nélkül ismerteti. Itt nem volt szükség egy ilyen mély, a projektív geometria eszközeivel bizonyítható tétel fölhasználására. |
|