A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A háromszög egyik csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra. Ezért az , , háromszög magasságpontja .
Ismeretes, hogy a háromszög magasságpontjának az oldalakra vonatkozó tükörképe a körülírt körön van. Így az , , háromszög magasságpontjának az oldalra vonatkozó tükörképe a körülírt körön lesz, ábránkon ez az pont. Ha ezt a kört pl. -ra tükrözzük, a tükörkép kör átmegy az ponton. Ez azt jelenti, hogy az háromszög és az háromszög körülírt köre egymás tükörképei az egyenesre, és így a sugaruk is egyenlő. Hasonlóan megmutathatjuk, hogy az és háromszögek körülírt körének sugara ugyanakkora, mint az háromszögé.
Wiener Gábor (Bp. I. István Gimn. IV. o. t.) dolgozata alapján
II. megoldás. A háromszög egyik csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra. Ezért az háromszögben a magasságok talppontja , , elletve . Minthogy az , és háromszögekben is , és a magasságvonalak talppontja, az említett háromszögek Feuerbach köre ugyanaz, éspedig az , , pontokon átmenő kör. Mivel egy háromszög köré írt kör sugara a Feuerbach-kör sugarának kétszerese, az , , , pontok közül bármelyik három köré írt kör sugara is ennyi.
Ratkó Éva (Bp. Berzsenyi D. Gimn. III. o. t.) dolgozata nyomán |
|