Feladat: F.2839 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ratkó Éva ,  Wiener Gábor 
Füzet: 1991/október, 310 - 311. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt kör, Hozzáírt körök, Feuerbach-kör, Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/február: F.2839

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A háromszög egyik csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra. Ezért az O1, O2, O3 háromszög magasságpontja O.

 
 

Ismeretes, hogy a háromszög magasságpontjának az oldalakra vonatkozó tükörképe a körülírt körön van. Így az O1, O2, O3 háromszög O magasságpontjának az O1O3 oldalra vonatkozó tükörképe a körülírt körön lesz, ábránkon ez az O' pont. Ha ezt a kört pl. O1O3-ra tükrözzük, a tükörkép kör átmegy az O ponton. Ez azt jelenti, hogy az O1O2O3 háromszög és az OO1O3 háromszög körülírt köre egymás tükörképei az O1O3 egyenesre, és így a sugaruk is egyenlő. Hasonlóan megmutathatjuk, hogy az OO2O3 és OO1O2 háromszögek körülírt körének sugara ugyanakkora, mint az O1O2O3 háromszögé.
 
 Wiener Gábor (Bp. I. István Gimn. IV. o. t.) dolgozata alapján
 

II. megoldás. A háromszög egyik csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásra. Ezért az O1O2O3 háromszögben a magasságok talppontja A, B, elletve C. Minthogy az OO1O2, OO1O3 és OO2O3 háromszögekben is A, B és C a magasságvonalak talppontja, az említett háromszögek Feuerbach köre ugyanaz, éspedig az A, B, C pontokon átmenő kör. Mivel egy háromszög köré írt kör sugara a Feuerbach-kör sugarának kétszerese, az O, O1, O2, O3 pontok közül bármelyik három köré írt kör sugara is ennyi.
 
 Ratkó Éva (Bp. Berzsenyi D. Gimn. III. o. t.) dolgozata nyomán