Kezdőlap


Feladat:	F.2838	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csereháti Zoltán , Csörnyei Marianna , Elek Márta , Futó Gábor , Horváth István , Horváth Zsófia , Huszerl Gábor , Kórász Tamás , Lente Gábor , Párniczky Benedek , Pór Attila , Stőhr Lóránt , Szalkai Ákos , Újváry-Menyhárt Zoltán , Wiener Gábor
Füzet:	1991/szeptember, 258 - 259. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Végtelen leszállás módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: F.2838

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak akkor, ha $a = b = 1$ . Tegyük fel, hogy

a b | a^{2} + b^{2} - a - b + 1, a ≦ b, b > 1

és

a + b

a lehető legkisebb. Nyilván

a \neq 1

, mert

a = 1

esetén

\begin{matrix} b | 1 + b^{2} - 1 - b + 1 = b^{2} - b + 1. \end{matrix}

Innen

b | 1

következik, de föltettük, hogy

b > 1

.
Legyen valamilyen pozitív egész

k

-ra

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - a - b + 1 = k a b . \end{matrix}

(1)

Tekintsük az

(1)

rendezésével kapott

x^{2} - (k a + 1) x + (a^{2} - a + 1) = 0

egyenletet; ennek

(1)

szerint

b

gyöke. Legyen az egyenlet másik gyöke

c

. Felhasználva mindkét összefüggést a gyökök és együtthatók között azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} c = (k a + 1) - b = (a^{2} - a + 1) / b . \end{matrix}

c

egész, mert

c = k a + 1 - b .

Másrészt

0 < c < a,

mivel

\begin{matrix} c = \frac{a^{2} - a + 1}{b} ≧ \frac{1}{b} és c = \frac{a^{2} - a + 1}{b} < \frac{a^{2}}{b} ≦ \frac{a^{2}}{a} = a . \end{matrix}

Tehát

0 < c < a

és

c^{2} - (k a + 1) c + (a^{2} - a + 1) = 0

, azaz

c^{2} + a^{2} - c - a + 1 = k c a

, vagyis

c a | c^{2} + a^{2} - c - a + 1.

Viszont

c + b < a + b

, ami ellentmond

a

és

b

kiválasztásának. Nem léteznek tehát olyan

a

és

b

egynél nagyobb egészek, amelyekre teljesül a feladat feltétele.

Megjegyzés. A feladat és a megoldás módszere ‐ az elsőként Fermat által alkalmazott ún. végtelen leszállás ‐ közeli kapcsolatban van a 29. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 6. feladatával (lásd KöMaL 1988/7. 298. oldal).