|
Feladat: |
F.2838 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csereháti Zoltán , Csörnyei Marianna , Elek Márta , Futó Gábor , Horváth István , Horváth Zsófia , Huszerl Gábor , Kórász Tamás , Lente Gábor , Párniczky Benedek , Pór Attila , Stőhr Lóránt , Szalkai Ákos , Újváry-Menyhárt Zoltán , Wiener Gábor |
Füzet: |
1991/szeptember,
258 - 259. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatóság, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Végtelen leszállás módszere, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/február: F.2838 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Csak akkor, ha . Tegyük fel, hogy
és a lehető legkisebb. Nyilván , mert esetén Innen következik, de föltettük, hogy . Legyen valamilyen pozitív egész -ra Tekintsük az rendezésével kapott egyenletet; ennek szerint gyöke. Legyen az egyenlet másik gyöke . Felhasználva mindkét összefüggést a gyökök és együtthatók között azt kapjuk, hogy A egész, mert Másrészt mivel | |
Tehát és , azaz , vagyis Viszont , ami ellentmond és kiválasztásának. Nem léteznek tehát olyan és egynél nagyobb egészek, amelyekre teljesül a feladat feltétele. Megjegyzés. A feladat és a megoldás módszere ‐ az elsőként Fermat által alkalmazott ún. végtelen leszállás ‐ közeli kapcsolatban van a 29. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 6. feladatával (lásd KöMaL 1988/7. 298. oldal). |
|