Kezdőlap


Feladat:	F.2835	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Csaba D.
Füzet:	1992/április, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Köréírt gömb, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/január: F.2835

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $x$ és $y$ szakasz $E$ , illetve $F$ -től különböző végpontja $X$ , illetve $Y$ . Az $x$ szakasz merőleges $E F$ -re és $f$ -re, ezért merőleges az $E F Y$ háromszög síkjára. Tehát a vizsgálandó tetraéder térfogata

\begin{matrix} V = \frac{E F \cdot y}{2} \cdot \frac{x}{3} = \frac{x y}{6} \cdot E F = \frac{E F}{6} \cdot k^{2}, ami valóban állandó. \end{matrix}

E

és

F

pontból az

X Y

szakasz derékszögben látszik. Ezért

E

és

F

illeszkedik az

X Y

átmérőjű gömbre, ami így a tetraéder körülírt gömbje. A Pitagorasz tétel szerint

\begin{matrix} X Y^{2} = x^{2} + E Y^{2} = x^{2} + E F^{2} + y^{2}, \end{matrix}

ami így is írható:

\begin{matrix} X Y^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 x y + E F^{2} = {(x - y)}^{2} + 2 k^{2} + E F^{2}; \end{matrix}

ez akkor a legkisebb, ha

x - y = 0

, azaz

x = y = k

Megjegyzés: A tetraéder egy

x, y, E F

élű téglatestbe foglalható. Az ábrát ennek megfelelően készítettük. Ismeretes, hogy a tetraéder térfogata a téglatestnek

1 / 6

része. A térbeli viszonyok áttekintését a téglatest megrajzolása könnyebbé teszi, a körülírt gömb átmérője ugyanis éppen a téglatest testátlója.