Kezdőlap


Feladat:	F.2833	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1991/november, 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Háromszögek nevezetes tételei, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Húrnégyszögek, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/január: F.2833

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A F / A E = A B / A C$ feltétel szerint az $A F E$ háromszög hasonló az $A B C$ háromszöghöz, hiszen megegyeznek két oldalpár arányában és a közbezárt szögben. Ezért $A F E ∢ = A B C ∢$ , amiért a $B C F E$ négyszög húrnégyszög.

Az ábra alapján könnyen beláthatjuk, hogy

\begin{matrix} E P ≦ E K és C R ≦ C K . & (1) \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} \sqrt[]{E P \cdot C R} \leq \sqrt[]{E K \cdot C K} = \sqrt[]{B K \cdot F K} \leq \frac{B K + F K}{2} = \frac{1}{2} \cdot B F; & (2) \end{matrix}

(fölhasználtuk azt a tételt, hogy a kör egy belső

K

pontján átmenő húrok szeleteinek szorzata állandó, továbbá a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget). A bizonyításból az is kiderül, hogy a (2)-ben csak akkor van mindenütt egyenlőség, ha (1)-ben mindkét helyen egyenlőség áll, és

B K = F K

. Ez pontosan akkor teljesül, ha

E C

merőlegesen felezi

B F

-et.