Feladat: F.2829 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Komócsi Sándor 
Füzet: 1991/november, 384 - 385. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Vetítések, Diszkusszió, Térgeometria, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/december: F.2829

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két párhuzamos egyenes a és b (pl. sínpár), a mindkettőhöz képest kitérő egyenes pedig c. Jelöljük az a és b egyenesek közötti távolság felező merőleges síkját S-sel. Mivel a és c kitérőek, c döfi S-et egy P pontban. Legyen P vetülete az a és b egyenesek által meghatározott síkon T. A PT magasságú szabályos háromszög oldala (2⋅PT)/3.

 
 

1. ábra
 

Ekkora oldalú, a feltételeknek megfelelő szabályos háromszög akkor szerkeszthető, ha a T körül  (PT)/3 sugárral rajzolt körnek van közös pontja az a és a b egyenesekkel. A háromszög csúcsai a T középpontú körnek az a, illetve b egyenesre illeszkedő átellenes pontjai és még a P pont (1 ábra).
 
Nem vezet megoldásra ez a szerkesztés, ha (2⋅PT)/3 kisebb, mint az a és b közötti d távolság. Ebben az esetben pl. a következőképpen szerkeszthetünk a feltételek szerinti szabályos háromszöget. Rajzoljunk P körül (d3)/2 sugarú kört az S síkban (2. ábra). Ez a kör az újabb feltevés miatt metszi az a és b egyenesek által meghatározott síkot (hiszen ekkor (d3)/2>PT); a metszéspont legyen M. A TM-re az M pontban állított merőleges messe a-t az A,b-t a B pontban. A PAB háromszög megfelel a feladat feltételeinek.
 
 

2. ábra
 

Faragó Gergely (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata nyomán

 

Megjegyzések. 1. Egyéb szerkesztések is elképzelhetők. Tegyük fel, hogy c döfi a és b síkját egy O pontban. Forgassuk el a-t O körül 60∘-kal, az elforgatott egyenes messe b-t B'-ben, B' őse legyen A'. Az A'B'O háromszög megfelel a feltételeknek (3. ábra).
 
 

3. ábra
 

2. A három szerkesztés közös eleme hogy c-n eleve kiválasztottuk a csúcs helyzetét és c egyéb pontjaival "nem törődtünk''. Tehát az első két eljárás valamelyike akkor is érvényes, ha a harmadikbeli O nem jön létre, ha c párhuzamos a és b síkjával.