Kezdőlap


Feladat:	F.2825	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/november, 381 - 382. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Különleges függvények, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/december: F.2825

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy $x_{1} = 0$ ; $y_{1} = - 1$ és $x_{2} = 2$ ; $y_{2} = 1$ megoldások. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.
Legyen $f (t) = t^{2} + t$ és $g (t) = (2^{t + 1} - 5) / 3$ . Azt kell megmutatnunk, hogy az $y = g (f (y))$ egyenletnek nem lehet három különböző megoldása.
Megállapíthatjuk, hogy $f$ és $g$ szigorúan konvex függvények. Valóban, $f$ olyan másodfokú polinomfüggvény, amelynek a főegyütthatója pozitív, $g$ pedig a szigorúan konvex $t \mapsto 2^{t}$ függvény eltoltjának pozitív konstansszorosa (az is igaz, hogy eltoltja, ugyanis $g (t) = 2^{t - (log_{2} 3 - 1)} - \frac{5}{3}$ . Nyilván teljesül továbbá, hogy $g$ szigorúan monoton.
Ennek a három egyszerű tulajdonságnak a felhasználásával bebizonyítjuk, hogy az $y \mapsto g (f (y))$ függvény is szigorúan konvex. Azt kell ehhez igazolnunk, hogy ha $0 < λ < 1, a < b$ valós számok, akkor

\begin{matrix} g (f (λ a + (1 - λ) b)) < λ g (f (a)) + (1 - λ) g (f (b)) . \end{matrix}

Mivel

f

szigorúan konvex,

\begin{matrix} f (λ a + (1 - λ) b) < λ f (a) + (1 - λ) f (b) . \end{matrix}

Ebből

g

szigorú monotonitása miatt

\begin{matrix} g (f (λ a + (1 - λ) b)) < g (λ f (a) + (1 - λ) f (b)) . \end{matrix}

Felhasználva

g

szigorú konvexitását is:

\begin{matrix} g (f (λ a + (1 - λ) b)) < g (λ f (a) + (1 - λ) f (b)) < λ g (f (a)) + (1 - λ) g (f (b)) . \end{matrix}

Tehát az

y \mapsto g (f (y))

függvény valóban szigorúan konvex.
Tegyük most fel, hogy az

y = g (f (y))

egyenletnek legalább három különböző megoldása van; legyen

a < b < c

három megoldás. Látható, hogy

λ = \frac{b - c}{a - c}

az a szám, amelyre

b = λ \cdot a + (1 - λ) c

. Ekkor, mivel

a, b, c

megoldások és

y \mapsto g (f (y))

szigorúan konvex,

\begin{matrix} b = g (f (b)) = g (f (λ \cdot a + (1 - λ) c)) < λ \cdot g (f (a)) + (1 - λ) g (f (c)) = λ a + (1 - λ) c = b, \end{matrix}

ami ellentmondás.
Az egyenletrendszernek tehát legfeljebb két megoldása lehet. Mivel pedig két megoldást már találtunk, más megoldás nincs.