Kezdőlap


Feladat:	F.2822	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/október, 304 - 305. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Koszinusztétel alkalmazása, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/november: F.2822

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A három szám közül nyilván $c$ a legnagyobb. Ha $k < n$ , akkor

\begin{matrix} c^{k} = \frac{1}{c^{n - k}} (a^{n} + b^{n}) = {(\frac{a}{c})}^{n - k} \cdot a^{k} + {(\frac{b}{c})}^{n - k} \cdot b^{k} < a^{k} + b^{k}, \end{matrix}

azaz

a^{k}

b^{k}

c^{k}

hosszúságú oldalakkal valóban szerkeszthető háromszög. Írjuk fel most a háromszög legnagyobb,

c^{k}

-nal szemközti

γ

szögére a koszinusztételt:

\begin{matrix} cos γ = \frac{a^{2 k} + b^{2 k} - c^{2 k}}{2 a^{k} b^{k}} . \end{matrix}

2 k < n

, akkor a fentieket

k

helyett

2 k

-ra alkalmazva kapjuk, hogy

cos γ > 0

, a háromszög hegyesszögű. Végül

2 k ≧ n

esetén

\begin{matrix} cos γ = \frac{1}{2 a^{k} b^{k}} (a^{2 k - n} \cdot a^{n} + b^{2 k - n} \cdot b^{n} - c^{2 k - n} \cdot c^{n}) ≦ \frac{c^{2 k - n}}{2 a^{k} b^{k}} (a^{n} + b^{n} - c^{n}) = 0, \end{matrix}

a háromszög nem hegyesszögű. Az utóbbi becslésnél pontosan akkor áll egyenlőség, ha

a^{2 k - n} + b^{2 k - n} = c^{2 k - n}

, azaz

2 k = n;

ekkor a háromszög derékszögű. Az

a^{k}

b^{k}

c^{k}

szakaszokból szerkesztett háromszög tehát pontosan akkor hegyesszögű, ha

k < n / 2.