Kezdőlap


Feladat:	F.2819	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Lente Gábor
Füzet:	1991/december, 451 - 452. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/november: F.2819

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy $x, y$ és $z$ abszolút értéke nem lehet $1$ -nél nagyobb. Tegyük fel, hogy állításunkkal ellentétben például $| x | > 1.$ Mivel az első egyenlet alapján $x$ nem lehet $(- 1)$ -nél kisebb, ez (valós számokkal) csak úgy lehetséges, ha $x > 1$ . Ekkor a harmadik egyenlet alapján

\begin{matrix} z = 2 x^{2} - 1 = x^{2} + (x^{2} - 1) > x > 1, \end{matrix}

így a második egyenlet alapján

\begin{matrix} y = 2 z^{2} - 1 > z, \end{matrix}

ezért az első egyenletből

\begin{matrix} x = 2 y^{2} - 1 > y . \end{matrix}

x > 1

feltevésből kapott három egyenlőtlenség:

\begin{matrix} x < z < y < x, \end{matrix}

ami ellentmondás.
A betűzés ciklikus cseréjével hasonlóan bizonyítható, hogy

y

és

z

sem lehet

1

-nél nagyobb abszolút értékű.
Legyen

t

olyan

0

és

π

közé eső valós szám, amelyre

x = cos t .

Mivel

| x | ≦ 1

, pontosan egy ilyen

t

létezik. Ekkor a harmadik egyenlet alapján

\begin{matrix} z = 2 x^{2} - 1 = 2 cos^{2} t - 1 = cos 2 t, \end{matrix}

a második egyenlet szerint pedig

\begin{matrix} y = 2 z^{2} - 1 = 2 cos^{2} 2 t - 1 = cos 4 t . \end{matrix}

A kapott eredményeket behelyettesítve az első egyenletbe:

\begin{matrix} cos t = x = 2 y^{2} - 1 = 2 cos^{2} 4 t - 1 = cos 8 t, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos t = cos 8 t . \end{matrix}

Mivel tetszőleges

u

és

v

valós számokra

cos u = cos v

pontosan akkor teljesül, ha

u - v

vagy

u + v

2 π

-nek egész számú többszöröse, ez azt jelenti, hogy

7 t

vagy

9 t

2 π

-nek egész számú többszöröse. Ilyen

t

érték a

[0, π]

intervallumban nyolc van:

\begin{matrix} t_{1} = 0; \end{matrix}

Az ezekhez tartozó megoldások:

\begin{matrix} x_{1} = cos 0 = 1; & y_{1} = cos 0 = 1; & z_{1} = cos 0 = 1; \\ x_{2} = cos \frac{2 π}{7}; & y_{2} = cos \frac{8 π}{7} = cos \frac{6 π}{7}; & z_{2} = cos \frac{4 π}{7}; \\ x_{3} = cos \frac{4 π}{7}; & y_{3} = cos \frac{16 π}{7} = cos \frac{2 π}{7}; & z_{3} = cos \frac{8 π}{7} = cos \frac{6 π}{7}; \\ x_{4} = cos \frac{6 π}{7}; & y_{4} = cos \frac{24 π}{7} = cos \frac{4 π}{7}; & z_{4} = cos \frac{12 π}{7} = cos \frac{2 π}{7}; \\ x_{5} = cos \frac{2 π}{9}; & y_{5} = cos \frac{8 π}{9}; & z_{5} = cos \frac{4 π}{9}; \\ x_{6} = cos \frac{4 π}{9}; & y_{6} = cos \frac{16 π}{9} = cos \frac{2 π}{9}; & z_{6} = cos \frac{8 π}{9}; \\ x_{7} = cos \frac{6 π}{9} = - \frac{1}{2}; & y_{7} = cos \frac{24 π}{9} = - \frac{1}{2}; & z_{7} = cos \frac{12 π}{9} = - \frac{1}{2}; \\ x_{8} = cos \frac{8 π}{9}; & y_{8} = cos \frac{32 π}{9} = cos \frac{4 π}{9}; & z_{8} = cos \frac{16 π}{9} = cos \frac{2 π}{9} . \end{matrix}