|
Feladat: |
F.2817 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Erben Péter , Fleiner Balázs , Futó Gábor , Horváth István , Imreh Csanád , Kovács Flórián , Lente Gábor , Magó Kálmán , Miklós György , Papolczy Péter , Pór Attila |
Füzet: |
1991/szeptember,
257 - 258. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/október: F.2817 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Szerkesszük meg a egyenesen azt az és pontot, amelyre , ahol az a szög, amelyben -ből az szakasz látszik.
1. ábra
Az 1. ábrán egy és két ívvel jelölt csúcsszögek egyenlősége folytán az és a háromszögek hasonlóak. Ezért , amiből . A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint: és itt állandó. -ben egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha . Ezután az szakaszt így becsülhetjük: tehát maximuma: és ezt akkor kapjuk, ha A szakasz megszerkeszthető. Ezt -re az és felől felmérve kapjuk az és pontokat, amelyekre maximális. Meg kell még mutatnunk, hogy ezekhez a pontokhoz létezik a köríven megfelelő pont. Mindenekelőtt megmutatjuk, hogy Legyen ugyanis a ív egy tetszőleges pontja, és a hozzá tartozó metszéspontok és . Ekkor | |
Ebből következik, hogy az szakaszon az előbb megszerkesztett és pontok sorrendje a következő: Tekintsük ezután az és háromszögeket. Ezek oldalaira: | | tehát két oldalpárjuk aránya megegyezik és a közbezárt szög is egyenlő. Ezért e két háromszög hasonló, s így szögeik megegyeznek. Az -nél és -nél lévő csúcsszögeket figyelembe véve az és egyenesek metszik egymást egy pontban és a háromszög is hasonló az előző kettőhöz. De akkor az csúcsánál lévő szög , tehát rajta van a köríven. Papolczy Péter (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.) II. megoldás. Legyen először , ekkor . Az pont távolsága a egyenestől legyen , és , távolsága pedig . Az és háromszögek hasonlósága miatt amelyből látjuk, hogy akkor maximális, ha is az, és ebben az esetben a ív felezőpontja. Az általános esetre térve feltehetjük, hogy .
2. ábra Húzzunk párhuzamost -n keresztül -vel. Messe ez -t -ben, a körívet pedig -ban (2. ábra). Az -mel -n át húzott párhuzamos messe -t a pontban. Nyilvánvaló, hogy állandó, továbbá az paralelogrammából . Ezért akkor lesz maximális, ha minimális. Könnyen látható, hogy , hiszen a bal oldalon lévő szög egyállású az szöggel, a jobb oldali pedig egy íven nyugvó kerületi szög ugyanezzel. Ezért a pontok egy körön vannak. Keresnünk kell egy olyan kört, amely átmegy a és pontokon, van közös pontja -vel, és az húrt egy -tól különböző pontban metszi, úgy, hogy a szakasz hossza minimális. Ha egy ilyen kör sugarát növeljük, növekszik. Ezért akkor lesz a legkisebb, ha a kör érinti a szakaszt. Jelöljük a keresett érintési pontot -gyel. Legyen a és a egyenesek metszéspontja . Az pont biztosan létrejön, hiszen és nem párhuzamosak. A körérintő és szelődarabok összefüggése alapján , ahonnan megszerkeszthető. Az szakaszt -ból egyenesre mérve ( felé) kapjuk a pontot, majd -re -ben merőlegest állítva és ezt felező merőlegesével elmetszve a keresett kör középpontját. A kör és metszéspontja a pont, az összefüggés alapján pedig is megszerkeszthető. Az elmondottakból következik, hogy az így szerkesztett valóban maximális. Meg kell még mutatnunk, hogy az és a egyenesek metszéspontja az adott köríven van. Mivel egy körön helyezkednek el, ; továbbá párhuzamos -gyel, így . De akkor , tehát -ből ugyanakkora szögben látszik, mint az pontból, ezért rajta van a köríven.
Kovács Flórián (Bp. Árpád Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján |
|