Kezdőlap


Feladat:	F.2815	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagyinszki Róbert , Bánfalvi Koppány , Csörnyei Marianna , Egri Ilona , Faragó Éva , Faragó Gergely , Fürjes Alex , Horváth István , Imreh Csanád , Komócsi Sándor , Kórász Tamás , Kőszegi Botond , Kovács Flórián , Kún Gábor , Lente Gábor , Magó Kálmán , Molnár-Sáska Gábor , Nagy Gergely , Németh Sándor , Orbán Imre , Papolczy Péter , Perlaki Tamás , Pór Attila , Stőhr Lóránt , Tóth Csaba , Újváry-Menyhárt Zoltán , Vigassy Zoltán
Füzet:	1991/szeptember, 254 - 255. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Középvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/október: F.2815

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. A $K L M N$ négyszög $K L$ és $M N$ oldalai az $A B C D$ négyszög $A C$ , a másik két oldal a $B D$ átlójával párhuzamos, ezért ez a négyszög paralelogramma. Hasonlóan paralelogramma a $P Q R S$ négyszög is.

Legyen a

K L M N

négyszög hosszabb oldala

a

, a rövidebb

b

, a hosszabb átló

e

, a másik

f

. Ezeknek a szakaszoknak a megfelelői a másik paralelogrammában:

e / 2, f / 2, a, b .

A hasonlóság feltétele az lesz, hogy az

a, b, e, f

szakaszok közül bármelyik kettőnek az aránya megegyezzék az

e / 2, f / 2, a, b

közül a megfelelő kettő arányával. Ezért pl.

a : e = \frac{e}{2} : a

, amiből

e = a \sqrt[]{2}

. A

b : f = \frac{f}{2} : b

arányból pedig

f = b \sqrt[]{2}

. (A két feltétel nem független egymástól, hiszen minden paralelogrammában

e^{2} + f^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} .

)
A keresett feltétel tehát úgy szól, hogy az első paralelogramma egyik átlója

\sqrt[]{2}

-szerese az egyik oldalnak. Az eredeti négyszögre a

2 e = 2 a \sqrt[]{2}

alakból

2 a = e \sqrt[]{2}

, tehát az

A B C D

négyszög egyik átlója

\sqrt[]{2}

-szerese az egyik középvonalnak és hasonló igaz a másik átlóra is.

Megjegyzés. A hasonlóság következménye, hogy

N K L ∢ = R S P ∢ = α

, ahol

α

A B C D

négyszög átlóinak a szöge. Az

N K L

háromszögből

\begin{matrix} cos α = \frac{a^{2} + b^{2} - f^{2}}{2 a b} = \frac{a^{2} - b^{2}}{2 a b}, \end{matrix}

amit

4

-gyel bővítve:

cos α = {{(2 a)}^{2} - {(2 b)}^{2}} / (2 \cdot 2 a \cdot 2 b),

ahol

2 a

és

2 b

az eredeti négyszög átlói. Az utóbbi összefüggés a keresett feltétel egy másik alakja.

Bagyinszky Róbert (Békéscsaba, Sebes György Közg. Szki. III. o. t.)