A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen , , az a pozitív számokból álló sorozat, amelyre tetszőleges pozitív -re Bizonyítsuk be, hogy I. megoldás. Legyen . Azt fogjuk megmutatni, hogy
A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. esetén az első egyenlet szerint , amiből és igy valóban teljesül. Legyen és tegyük fel, hogy teljesül -ra:
Megmutatjuk, hogy ekkor -re is teljesül. Ehhez először kifejezzük -et segítségével. Írjuk fel a -edik egyenletet:
Az egyenlet gyökei:
Ezek közül a második negatív, viszont pozitív, tehát
A (4) indukciós feltevés szerint ebből Bebizonyítjuk, hogy , ebből következik az állítás bal oldala: . Ugyanis -vel szorozva és négyzetre emelve: , ami valóban igaz, mert . Hasonlóan adódik a másik bizonyítandó egyenlőtlenség, ha belátjuk, hogy
Ugyancsak -vel szorozva és négyzetre emelve kapjuk, hogy
ami pedig teljesül, mert
Ezzel bebizonyítottuk, hogy és így igazoltuk az állítást.
II. megoldás. Legyen . Azt fogjuk megmutatni, hogy
Írjuk fel az (1) egyenletet két szomszédos indexre:
és ezeket vonjuk ki egymásból:
Innen -t kifejezve:
és négyzetre emelve:
Mivel
Ebből pedig
Végül alapján
Ezzel az állítást igazoltuk.
III. megoldás. -et -nel szorozva: Írjuk ezt fel , , -ra, adjuk össze a kapott egyenlőségeket: | | Mivel
Tehát , amiből az állítás azonnal következik. |