Kezdőlap


Feladat:	F.2811	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Sulák Katalin , Tóth Csaba
Füzet:	1991/március, 102 - 103. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Háromszög alapú hasábok, Terület, felszín, Térfogat, Szabályos sokszögek által határolt testek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: F.2811

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az úszás feltétele szerint a hasáb tömege mindkét esetben megegyezik a kiszorított víz tömegével. Mivel a hasáb élei egyenlő hosszúságúak, feltehetjük, hogy egységnyiek. Tekintsük először azt az esetet, amikor a hasáb az alaplapján úszik. Legyen a bemerülés mélysége $x$ . Ekkor a hasábból ‐ mint azt az 1. ábra alapján könnyen láthatjuk ‐

\begin{matrix} V_{1} = \frac{\sqrt[]{3}}{4} \cdot x \end{matrix}

térfogatú rész merül a vízbe.

1. ábra

2. ábra

Ússzon ezután a hasáb az egyik oldallapján. Ekkor a vízbe merülő rész egy olyan hasáb, amelynek alaplapja egy

x

magasságú szimmetrikus trapéz. A trapéz

y

oldalát a 2. ábrán látható

y

oldalú szabályos háromszög magasságának kétféle kifejezéséből kaphatjuk meg:

\begin{matrix} y \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} - x, amiből y = 1 - \frac{2 x}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

A trapéz területe tehát:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (2 - \frac{2 x}{\sqrt[]{3}}) x = x (1 - \frac{x}{\sqrt[]{3}}) . \end{matrix}

Így most a vízbe merülő rész térfogata:

\begin{matrix} V_{2} = x (1 - \frac{x}{\sqrt[]{3}}), ahol 0 < x < \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

(1)

A kétféle helyzetben feltételezett úszás csak akkor lehetséges, ha

V_{1} = V_{2}

, azaz

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{4} \cdot x = x (1 - \frac{x}{\sqrt[]{3}}) . \end{matrix}

Ebből az egyenletből

\begin{matrix} x (1 - \frac{x}{\sqrt[]{3}} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x = 0, vagy x = \sqrt[]{3} - \frac{3}{4} . \end{matrix}

Mivel

\sqrt[]{3} - 3 / 4 > \sqrt[]{3} / 2

, a kapott eredmények egyike sem lehetséges, hiszen ellentmondanak az (1)-ben szereplő feltételnek. Ezért a feladat kérdésére nemleges választ kell adnunk.