Kezdőlap


Feladat:	F.2810	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Flórián , Olaszi Zsolt
Füzet:	1991/február, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Terület, felszín, Paralelogrammák, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: F.2810

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás: Forgassuk el az $A B C$ háromszöget $A$ körül pozitív irányba $90^{\circ}$ -kal, majd $B$ körül negatív irányba ugyancsak $90^{\circ}$ -kal.

A kapott képháromszögek

A B_{1} C_{1}

, illetve

A_{2} B C_{2}

. Nyilvánvaló, hogy

C_{1}

, illetve

C_{2}

A C

-re, illetve

B C

-re (kifelé) szerkeszthető négyzetek

C

-vel szemközti csúcsai,

A B A_{2} B_{1}

pedig az

A B

-re szerkeszthető egyik négyzet. Az

A B_{1} C_{1}

és

A_{2} B C_{2}

háromszögek egybevágóak, és megfelelő oldalaik párhuzamosak. Ezért

A C_{2} A_{2} C_{1}

paralelogramma, amelynek

A A_{2}

és

C_{1} C_{2}

átlói felezik egymást. Tehát

C_{1} C_{2}

átmegy az

A B A_{2} B_{1}

négyzet

A A_{2}

átlójának felezőpontján, és így felezi a négyzet területét.

Megjegyzés. A két elforgatott háromszögről könnyen megállapíthatjuk, hogy egymáshoz képest

180^{\circ}

-kal vannak elforgatva, azaz a háromszögek középpontosan tükrösek, és a középpont

A A_{2}

felezőpontja. A tükrözés középpontján

C_{1} C_{2}

is átmegy, ezért felezi az

A B A_{2} B_{1}

négyzet területét.

Kovács Flórián ((Bp., Árpád Gimn., IV. o. t.) és
Olaszi Zsolt (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján