A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek pozitív egészek. Megadunk egy szükséges és elégséges feltételt arra, hogy minden -nél nem nagyobb egész szám előállítható legyen e számok közül néhány (esetleg csak egy) összegeként. Ezután megmutatjuk, hogy a pozitív osztóira teljesül ez a feltétel. A feltétel a következő: minden -re . Ez a feltétel szükséges, mert ha , akkor nem tudjuk előállítani -t összegeként, hiszen , , ennél a számnál nagyobb, így nem szerepelhetnek a tagok között, viszont a legnagyobb szám, amit a többi -vel ‐ , , , -val ‐ elő lehet állítani, kisebb -nál. Ezután szerinti teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy ha a feltétel teljesül, akkor minden -nél nem nagyobb pozitív egész előállítható néhány összegeként. Ez -re igaz: az egyetlen, -nél nem nagyobb pozitív egész az , és . Tegyük fel, hogy , és minden -nél nem nagyobb pozitív egész szám előáll közül néhánynak az összegeként. Megmutatjuk, hogy ekkor -et is felhasználva az és közötti számok is előállíthatók ilyen módon. Legyen (. Azt akarjuk belátni, hogy előállítható és néhány összegeként. Ha , akkor ez nyilvánvaló, így feltehető, hogy , Az a feltétel szerint, tehát . Az indukciós feltevés értelmében előállítható néhány összegeként. Ehhez az összeghez -et hozzáadva éppen előállításához jutunk. Ezzel a feltétel elégségességét is igazoltuk. Mutatunk most egy erősebb (elégséges, de nem szükséges) feltételt és ezt fogjuk alkalmazni osztóira. Tegyük fel, hogy minden -re , azaz számaink mindegyike legfeljebb az előző kétszerese.Ekkor teljesül a fönt bizonyított feltétel is, tehát hogy minden -re . Állításunkat ismét indukcióval bizonyítjuk.
Tegyük fel, hogy . Ekkor
| |
Végül a osztói nagyság szerint: | | és ezekre láthatóan teljesül, hogy mindegyikük legfeljebb az előző kétszerese.
Lente Gábor(Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A közölt bizonyítás segítségével általában az is belátható, hogy ha az természetes szám alakú, ahol , akkor minden, az -nél nem nagyobb pozitív egész előállítható az néhány osztójának összegeként. Ehhez elegendő, hogy az szám osztóira teljesüljön . Tekintsünk evégből egy osztót . Ha , akkor . Ha nem osztója -nek, akkor , ahol ; ekkor viszont osztja -et, és miatt . |