|
Feladat: |
F.2805 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Aranyi Ferenc , Aranyi Katalin , Balogh József , Bánfalvi Koppány , Borsányi Ákos , Erben Péter , Fügedi Zsolt , Hajnal József , Horváth István , Horváth Katalin , Kiss István , Kovács Ágnes , Kovács Péter , Kovács Vera , Kökényesi László , Lente Gábor , Magó Kálmán , Miklós György , Nagy Benedek , Papolczy Péter , Podoski Károly , Pór Attila , Pula Balázs , Turányi Zoltán , Ujváry-Menyhárt Zoltán , Virág Bálint , Wiener Gábor |
Füzet: |
1991/január,
25 - 26. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint kúpszelet, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/május: F.2805 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ismeretes, hogy a parabola fókuszából egy érintőjére állított merőleges talppontja a csúcsérintőn van. Ábránkon a parabola fókusza, a vezéregyenes, a csúcsérintő, , pedig három érintő, amelyek , , pontokban metszik egymást. A fókuszból az érintőkre bocsátott merőlegesek talppontja , , , amelyek az említett tétel szerint a csúcsérintőkre illeszkednek. Bebizonyítjuk, hogy a parabola három érintője által meghatározott háromszög körülírt köre átmegy az ponton.
Thalesz tétele szerint és rajta van az átmérőjű körön, ezért az és szögek egyenlők. Hasonlóan Thalesz-köre tartalmazza a és pontokat, ezért . Így , ezért . A két utóbbi szög az a két szög, amelyben -ból, illetve -ből az szakasz látszik. Ezért az , , , pontok egy körön helyezkednek el. Ábránk betűzése ugyanis olyan, hogy fölött van , afölött pedig , így és az egyenesnek ugyanabban a félsíkjában van. Vegyünk ezután a négy érintőből hármat-hármat. Mivel az érintők között párhuzamosak nem lehetnek, három érintő egy háromszöget határoz meg. A két érintőhármas által meghatározott két háromszög köré írt köre az előbbiek szerint átmegy a parabola fókuszán, ezért egyik közös pontjuk a fókusz. A másik közös pont nyilván valamelyik két érintő metszéspontja, ezért a négy érintő által meghatározott négy lehetséges háromszög köré írt köröknek (sőt már háromnak is) egyetlen közös pontja lesz, a parabola fókusza. Ebből a közös pontból állítsunk merőlegest két érintőre. Ezeknek a merőlegeseknek a talppontja meghatározza a csúcsérintőt. Húzzunk merőlegest az ötödik érintő megadott irányára. Ennek a merőlegesnek és a csúcsérintőnek a közös pontja az ötödik érintőnek is pontja. Ezen a ponton át az ötödik érintő irányával párhuzamost húzva kapjuk az ötödik érintőt. Ha a megadott négy érintő és az ötödik iránya páronként nem párhuzamos egyenesek, és a négy érintő közül semelyik három nem megy át egy ponton, akkor a feladatnak egy megoldása van. Az pontot ugyanis a lehetséges négy kör egyértelműen meghatározza, és ezután egyértelmű a csúcsérintő, majd az ötödik érintő szerkesztése is. Egyéb esetekben pedig nincs megoldás.
Miklós György (Bp., I. István Gimn., III. o. t.) |
|