Feladat: F.2799 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benczúr Péter ,  Harcos Gergely ,  Imreh Csanád ,  Kórász Tamás ,  Pór Attila ,  Szendrői Balázs 
Füzet: 1991/január, 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Középpontos tükrözés, Síkra vonatkozó tükrözés, Gömbi geometria, Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/április: F.2799

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az alma középpontját O, azt a pontot, ahol a kukac bemászott az almába P1, azt a pontot pedig, ahol kilépett P2. Legyen P1 tükörképe az O-ra P1' (nyilván nem azonos P2-vel), a P1'P2 szakasz felező merőleges síkját pedig jelöljük S-sel. Mivel P1'P2 a gömb egy húrja, S illeszkedik az O pontra. Megmutatjuk, hogy a kukacnak nincs nyoma az S síkon. A bizonyítást indirekt úton végezzük.

Tegyük fel, hogy a kukac P1-ből P2-be vezető útjának valamely R pontja S-en van. Tükrözzük az R-ből P2-be menő utat az S síkra: így annak a hossza nem változik. Az R és P2 közötti út tükörképe egy R és P1' közötti út lesz, ezért a kukac útja egyenlő hosszú egy olyan úttal, amely P1-ből P1'-be vezet. Az ilyen utak hossza legalább 62mm, ami ellentmond annak, hogy a kukac útja 61mm. A feltételezett R pont tehát nem létezhet.
Most tekintsük a kukac útjának egy olyan pontját, Q-t, amely legközelebb van S-hez. Legyen ennek a pontnak S-től való távolsága d. Toljuk el S-et önmagával párhuzamosan, a tekintett ponthoz közelítve d2 -vel. Az így kapott, S-sel párhuzamos S' sík két különböző nagyságú darabra vágja el az almát, és a nagyobbik részben nem lesz nyoma a kukacnak.
 

 Imreh Csanád (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)