|
Feladat: |
F.2795 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh József , Benczúr Péter , Bíró Norbert , Csergőffy Tibor , Csizmadia Péter , Czirók András , Erben Péter , Gárdonyi Márk , Hajnal Ákos , Harcos Gergely , Imreh Csanád , Kárász Tamás , Kiss István , Kovács Ágnes , Kullman Tamás , Magó Kálmán , Matolcsi Máté , Miklós György , Nagy Ádám , Nagy Benedek , Papolczy Péter , Podoski Károly , Sági Zoltán , Szalkai Ákos , Szendrői Balázs , Tokodi Tamás , Ujváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1991/április,
154. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Trigonometrikus függvények, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/április: F.2795 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A koszinusz-függvény páros és szerint periodikus, ezért ha egy megfelel a feladat követelményének, akkor is megfelel tetszőleges egész szám mellett. Elég tehát az olyan számokat megkeresnünk, amelyek teljesítik a feladat feltételét és A feltétel szerint a feltétel miatt pedig . Így A feltétel általában azt jelenti, hogy van olyan egész, amelyre vagyis az jelöléssel Az (1) feltétel szerint Bebizonyítjuk, hogy a négyes számrendszerben =1,= 1,111..., azaz a négyes számrendszerben mindegyik jegye 1. A (2) feltétel pontosan azt jelenti, hogy a számot négyes számrendszerben felírva, az egyesek helyén 1-es vagy 2-es áll. De megfelelő négyhatvánnyal szorozva törtrészének bármelyik jegye eltolható az egyesek helyére. (Az -edik jegy akkor kerül az egyesek helyére, ha -mel szorzunk.) Tehát törtrészének minden jegye 1-es vagy 2-es. De ugyanez igaz -ra is, hiszen annak törtrészéből is bármelyik jegy eltolható az egyesek helyére, megfelelő kettőhatvánnyal szorozva. Tegyük fel, hogy ban van egy kettes jegy valahol. Az első kettes jegy legyen az -edik jegy a vessző után: = 1,1...112... ( db 1-es). Ekkor és ezt kettővel szorozva az egyesek helyére 3-as kerül, hiszen a törtrész nagyobb 1/2-nél, és így van átvitel. Így = 22...23,1... vagy 22...23,0..., s ez ellentmond annak, hogy -ban az egyesek helyén 1-es vagy 2-es áll. Ezzel beláttuk, hogy vagyis A feladat feltételének tehát csak a alakú számok felelhetnek meg és azok meg is felelnek. Megjegyzés. A feladat és megoldása megtalálható a következő könyvben: Pataki J.-Reiman I.: Matematikai Versenyek 1989, 45‐47. oldal. |
|