A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy van olyan, minden valós helyen értelmezett, és periodikus függvény, amelyekkel fennáll az függvényegyenlet. Legyen a függvény egy periódushossza és a függvény egy periódushossza . Ekkor minden -re teljesülnek a | | (2) | egyenletek. Helyettesítsük most rendre az és értékeket az egyenletbe. Ekkor a ‐ periodikusság felhasználásával ‐ rendre a
egyenletekhez jutunk. Itt az első és utolsó egyenlet összegéből a 2. és 3. egyenletet kivonva azt kapjuk, hogy | | azaz valamelyik periódushossz vagy nulla. Ez ellentmond feltevésünknek, s így bizonyítja a feladat állítását.
Podoski Károly (Bp., Árpád Gimn., IV. o. t.)
Megjegyzés. Ugyanígy bizonyítható az is, hogy esetén az függvény soha nem áll elő két periodikus függvény összegeként: mindössze annyit kell felhasználni, hogy pozitív és esetén . Vegyük azonban észre, hogy esetén , ez esetben tehát a fenti gondolatmenettel nem jutunk ellentmondáshoz. Az tehát a fenti bizonyításból nem derül ki, hogy az függvény sem áll elő két periodikus függvény összegeként. Megmutatjuk viszont, hogy a fenti bizonyítás alapgondolatával belátható, hogy az függvény nem áll elő darab (vagy annál kevesebb) periodikus függvény összegeként. Először csak -ra mutatjuk be a bizonyítást, utána pedig megmondjuk, hogyan általánosítható. Tegyük fel, hogy van három periodikus függvény, és , amelyekre teljesül az függvényegyenlet. Legyen a függvény egy periódushossza , és helyettesítsük e függvényegyenletben az helyére rendre a következő értéket: , és . A periodikusságot is felhasználva a következő egyenleteket kapjuk:
Adjuk össze az első, az ötödik, a hatodik és hetedik egyenletet, s vonjuk ki belőle a többiek összegét. Ekkor a jobb oldalon, mint könnyen ellenőrizhető, minden kiesik, tehát nulla áll. A bal oldalon viszont . Megint azt az ellentmondást kapjuk tehát, hogy valamelyik periódushossz nulla. A bizonyítás tetszőleges -ra csak annyiban különbözik a fentitől, hogy egyenletet kapunk: ha a függvény periódusa , akkor minden -ra darab egyenletet kell felírni: minden lehetséges módon kiválasztunk darabot a számok közül, mondjuk -t, és felírjuk a
egyenletet, majd ezeket páratlan -re negatív, páros -re pozitív előjellel összeadjuk. Ekkor ‐ a periodikusság miatt ‐ a jobb oldalon megint minden kiesik, a bal oldalon pedig a összeg szerepel. Erről némi számolással belátható, hogy a műveletek elvégzése során minden olyan tagja kiesik, amelyben nem szerepel minden tényezőként. A bal oldal értéke tehát . Itt , tehát megint ahhoz az ellentmondáshoz jutunk, hogy valamelyik periódushosszra nulla adódik. Mivel nem zártuk ki, hogy a függvények között az azonosan nulla függvény is szerepeljen (hiszen az is periodikus függvény), így beláttuk, hogy az függvény nem áll elő legfeljebb darab periodikus függvény összegeként. |