Megoldás. A feltétel szerint $x^2+y^2$ osztható öttel. Ha $x$ osztható öttel, tehát $x=5k$, akkor $x^2=25k^2$, és $x^2+y^2$ csak úgy lehet osztható öttel, ha $y^2$ is osztható öttel, tehát $y$ is, azaz $y=5l$. Ekkor $\frac{x^2+y^2}{5}=5\left(k^2+l^2\right)={\left(2k+l\right)}^2+{\left(k-2l\right)}^2$, tehát előáll két négyzetszám összegeként. Ha $x$ vagy $5k+1$ vagy $x=5k-1$ alakú, akkor $x^2=5K+1$ s ekkor $y^2=5L+4$. Ez csak úgy lehetséges, ha $y$ vagy $5l+2$ vagy $5l-2$ alakú. Mivel $\frac{x^2+y^2}{5}$ értékén $x$ és $y$ előjele nem változtat, ezért megfelelő előjelváltoztatással elérhető, hogy $x=5k+1$ és $y=5l+2$. Ekkor $\frac{2x-y}{5}$ és $\frac{x+2y}{5}$ egész szám, és négyzetük összege éppen $\frac{x^2+y^2}{5}$. Marad az az eset, ha $x$ vagy $5k+2$ vagy $5k-2$ alakú. Ekkor $x^2=5K+4$, $y^2=5L+1$, tehát ‐ $x$ és $y$ értékét megfelelő előjellel ellátva ‐ feltehető, hogy $x=5k+2$ és $y=5l+1$. Ekkor $\frac{2x+y}{5}$ és $\frac{x-2y}{5}$ egész szám, és négyzetük összege éppen $\frac{x^2+y^2}{5}$.