Kezdőlap


Feladat:	F.2789	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss István , Kovács Péter , Kun Gábor , Magó Kálmán , Podoski Károly , Wiener Gábor
Füzet:	1991/március, 99 - 100. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Elsőfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: F.2789

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $p / q$ az az $1001$ -nél kisebb pozitív egész nevezőjű tört, amelynek a legkisebb az eltérése $123 / 1001$ -től. Mivel $123$ és $1001$ relatív prímek, ez utóbbi tört nem egyszerűsíthető, s így

\begin{matrix} | \frac{123}{1001} - \frac{p}{q} | = | \frac{123 q - 1001 p}{1001 q} | = δ \end{matrix}

nem lehet nulla. Az utóbbi tört számlálója egész, így ‐ nem lévén nulla ‐ legalább

1

.
Két esetet különböztetünk meg:

1. eset.

| 123 q - 1001 p | \geq 2

. Ekkor az

1 \leq q \leq 1000

feltétel miatt a

δ

eltérés legalább

2 / (1001 q) \geq 1 / (1001 \cdot 500)

2. eset.

| 123 q - 1001 p | = 1

. Ez kétféleképpen teljesülhet:
a)

123 q - 1001 p = 1

. Itt

q

és

p

pozitív egész szám és

q \leq 1000

, ezért

1001 p = 123 q - 1 \leq 122 999

, s így

p \leq 122

Azt is látjuk, hogy

p

nem osztható hárommal, mert különben a bal oldal osztható volna hárommal, a jobb oldal viszont

1

. Így

p

-re

82

lehetőség marad, ezeket végigpróbálva egyedül

p = 94

esetén adódik

q

-ra is egész szám:

q = 765

. Ebben az esetben tehát a

p / q

tört csakis

94 / 765

lehet, s az eltérése

123 / 1001

-től

δ = 1 / (1001 \cdot 765)

.
b)

123 q - 1001 p = - 1

. Ezúttal

q \leq 1000

miatt

1001 p = 123 q + 1 \leq 123 001

, s így

p

megint legfeljebb

122

lehet, és most sem osztható hárommal. Ez megint

82

lehetőség, amelyeket végigpróbálva csak

p = 29

esetén kapunk egészet

q

-ra:

q = 236

. A

p / q = 29 / 236

tört eltérése

123 / 1001

-től

1 / (1001 \cdot 236)

.
Az összes eshetőséget végigvizsgálva a legkisebb eltérés a

2 a)

esetben, tehát

p / q = 94 / 765

esetén adódik, így az

1001

-nél kisebb pozitív egész nevezőjű törtek közül ennek a törtnek a legkisebb az eltérése a

123 / 1001

-től.

Megjegyzés. A

123 q - 1001 p = 1

, illetve

- 1

ún. diophantikus egyenlet általános megoldásával is nyilvánvalóan el lehet jutni a feladat megoldásához. De ahhoz is szükség van egy konkrét megoldás megtalálására, ami a fent leírt módon történhet, vagy szükség van az

1001 / 123

tört lánctörtbe fejtésére:

\begin{matrix} \frac{1001}{123} = 8 + \frac{1}{7 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4}}} . \end{matrix}

Ebből a megoldás az utolsó tört elhagyásával kapható: a

8 + \frac{1}{7 + \frac{1}{4}} = 236 / 29

tört nevezőjét

p_{0}

-nak, számlálóját

q_{0}

-nak választva a

p = 123 r + p_{0}

és

q = 1001 r + q_{0}

, illetve a

p = 123 r - p_{0}

és

q = 1001 r - q_{0}

adják a két egyenlet általános megoldását.