|
Feladat: |
F.2782 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh József , Benczúr Péter , Erben Péter , Harcos Gergely , Heszberger Zalán , Imreh Csanád , Király Róbert , Kiss István , Magó Kálmán , Miklós György , Nagy Benedek , Pócs Miklós , Podoski Károly |
Füzet: |
1991/március,
97 - 99. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Diofantikus egyenletek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Kettes alapú számrendszer, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/február: F.2782 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Minden valós szám legalább akkora, mint az egészrésze; így, ha megoldása az egyenletnek, akkor | | azaz . A nyilván megoldása az egyenletnek, ezért a továbbiakban csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor . Az szükségképpen egész, hiszen az egyenlet jobb oldala egész számok összege. Tegyük fel először, hogy , és írjuk fel -et a kettes számrendszerben: | | A feladat feltétele szerint | | Az összegzések sorrendjét felcserélve: | | azaz pontosan akkor megoldás, ha , vagyis a hatványa. Az egyenlet nemnegatív megoldásai ennek alapján: . A negatív megoldásokat is a kettes számrendszerbeli alakjukban keressük: legyen | | ahol feltehető, hogy (azaz lehet is). Ha , akkor az -re fennálló egyenlet a következő: ahonnan , és ez nem negatív. Így , és ezzel a feladatbeli egyenlet jobb oldala:
ezért | | Mivel pozitív, a megoldás pontosan akkor létezik, ha vagyis ha a számjegyek között legalább egy nulla van és . Ekkor pedig | | tehát a negatív megoldások | | ahol egész), és a számok közül tetszés szerint néhány (de legalább egy) , a többi . Megjegyzés. Szembetűnő a pozitív és a negatív megoldások erősen eltérő alakja, amelyet főleg az a tény indokol, hogy az egészrész-függvény nem páratlan. Míg a pozitív megoldások könnyen áttekinthetők, a negatív egészekről már nem dönthető el ,,ránézéssel'', hogy megoldásai-e a feladatbeli egyenletnek. Például a nem megoldás ‐ semmilyen mellett sem ‐ jóllehet a kettes számrendszerbeli alakjában van jegy. A viszont -re megoldás, bár a kettes számrendszerben felírva csupa -esből áll. További különbség az is, hogy minden -nál nem kisebb -re megoldás, egy negatív szám viszont legfeljebb egy érték mellett lehet megoldás, hiszen ekkor az összegek sorozata ( növekedtével) szigorúan monoton fogyó. |
|