|
Feladat: |
F.2780 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Aranyi Katalin , Bakos 622 T. , Balogh 171 J. , Battyányi P. , Bella G. , Czirók A. , Daruka T. , Hajnal Á. , Harcos G. , Kovács 113 Vera , Kovács 271 Ágnes , Kovács Vera , Maróti M. , Miklós Gy. , Parádi Cs. , Podoski Károly. , Pór A. , Sági Z. , Szalkai Á. , Szekeres B. , Szendrői B. , Tóth 713 G. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Wiener G. |
Füzet: |
1990/november,
378 - 379. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szélsőérték differenciálszámítással, Fizikai jellegű feladatok, Csillagászati, földrajzi feladatok, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/január: F.2780 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Használjuk az ábra jelöléseit. Tegyük fel, hogy a fényforrás a pontban van, és legyen , illetve .
A feladat fizikai tartalma miatt feltesszük, hogy a és feltételek teljesülnek. Mivel a gömbsüveg felszíne , az függvény maximumát keressük az (1) és (2) feltétel mellett. Az és háromszögek hasonlóságából amiből . Hasonlóan kapjuk, hogy , és így | | (3) | 3)-ból látjuk, hogy éppen akkor maximális, ha minimális. Ilyenkor vagy , vagy , vagy pedig teljesül. Az utóbbi pontosan akkor következik be, ha Ha a (4) szerinti teljesíti a (2) feltételt, azaz akkor a második derivált az pontban pozitív, -nek tehát lokális minimuma van ezen a helyen, -nek pedig lokális maximuma. (5)-ben a bal oldali egyenlőtlenség míg a jobb oldali alakba írható. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy . Ekkor láthatjuk, hogy (6) az (1)-nél szigorúbb feltétel, (7) pedig annál gyengébb, tehát elhagyható. Ha a (6) feltétel nem teljesül, akkor , tehát Az helyen most is pozitív, -nek lokális minimuma lesz, -nek pedig lokális maximuma, de most nem teljesíti a (2) feltételt. A (2)-nek megfelelő intervallumon így (8) következtében monoton csökken, maximumát tehát az intervallum bal végpontjában, helyen veszi fel. Azt találtuk tehát, hogy ha az (1) feltételen túl (6) is teljesül, akkor esetén lesz a megvilágított felületek összege a legnagyobb. Ha pedig , akkor mellett kapjuk a maximumot. Utóbbi esetben (és akkor is, ha (6)-ban egyenlőség áll) a pont a kisebb sugarú gömbön lesz, és így ezen a gömbön a megvilágított felületek nagysága zérus. Speciálisan, ha , a megvilágított felületek összege akkor lesz maximális, ha . Kovács Vera (Szolnok, Verseghy F, Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján
|
|