Feladat: F.2780 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Aranyi Katalin ,  Bakos 622 T. ,  Balogh 171 J. ,  Battyányi P. ,  Bella G. ,  Czirók A. ,  Daruka T. ,  Hajnal Á. ,  Harcos G. ,  Kovács 113 Vera ,  Kovács 271 Ágnes ,  Kovács Vera ,  Maróti M. ,  Miklós Gy. ,  Parádi Cs. ,  Podoski Károly. ,  Pór A. ,  Sági Z. ,  Szalkai Á. ,  Szekeres B. ,  Szendrői B. ,  Tóth 713 G. ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Wiener G. 
Füzet: 1990/november, 378 - 379. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Fizikai jellegű feladatok, Csillagászati, földrajzi feladatok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/január: F.2780

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Tegyük fel, hogy a fényforrás a P pontban van, és legyen O1O2=d, illetve O1P=x.

 
 

A feladat fizikai tartalma miatt feltesszük, hogy a
d>r+R(1)
és
rxd-R
feltételek teljesülnek. Mivel a gömbsüveg felszíne 2πrm, az F(x)=2π(MR+mr) függvény maximumát keressük az (1) és (2) feltétel mellett. Az O1PA és O1AP1 háromszögek hasonlóságából rx=r-mr amiből m=r-r2x. Hasonlóan kapjuk, hogy M=R-R2d-x, és így
F(x)=2π(R2+r2)-2π(r3x+R3d-x).(3)
3)-ból látjuk, hogy F(x) éppen akkor maximális, ha G(x)=r3x+R3d-x minimális. Ilyenkor vagy x=r, vagy x=d-R, vagy pedig G'(x)=R3(d-x)2-r3x2=0 teljesül.
Az utóbbi pontosan akkor következik be, ha
x=d1+R3r3.(4)
Ha a (4) szerinti x teljesíti a (2) feltételt, azaz
rd1+R3r3d-R,(5)
akkor a G''(x)=2(r3x3+R3(d-x)3) második derivált az x pontban pozitív, G(x)-nek tehát lokális minimuma van ezen a helyen, F(x)-nek pedig lokális maximuma. (5)-ben a bal oldali egyenlőtlenség
dr+RRr,(6)
míg a jobb oldali
dR+rrR(7)
alakba írható.
Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy rR. Ekkor láthatjuk, hogy (6) az (1)-nél szigorúbb feltétel, (7) pedig annál gyengébb, tehát elhagyható. Ha a (6) feltétel nem teljesül, akkor d<R+RRr, tehát
x=d1+R3r3<r.(8)

Az x helyen G''(x) most is pozitív, G(x)-nek lokális minimuma lesz, F(x)-nek pedig lokális maximuma, de x most nem teljesíti a (2) feltételt. A (2)-nek megfelelő intervallumon így (8) következtében F(x) monoton csökken, maximumát tehát az intervallum bal végpontjában, x=r helyen veszi fel.
Azt találtuk tehát, hogy ha az (1) feltételen túl (6) is teljesül, akkor x=d1+R3r3 esetén lesz a megvilágított felületek összege a legnagyobb. Ha pedig r+R<d<r+RRr, akkor x=r mellett kapjuk a maximumot. Utóbbi esetben (és akkor is, ha (6)-ban egyenlőség áll) a P pont a kisebb sugarú gömbön lesz, és így ezen a gömbön a megvilágított felületek nagysága zérus.
Speciálisan, ha r=R, a megvilágított felületek összege akkor lesz maximális, ha x=d2.
 

Kovács Vera (Szolnok, Verseghy F, Gimn., IV. o. t.)

dolgozata alapján