|
Feladat: |
F.2774 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Aranyi Katalin , Balogh 171 J. , Batthányi P. , Benczúr P. , Botrágyi T. , Cserháti V. , Erben P. , Fürjes A. , Hajnal Veronika , Harcos G. , Horváth I. , Imreh Cs. , Keresztély T. , Kiss 128 I. , Kiss 943 Orsolya , Kónya I. , Kórász T. , Kovács 271 Ágnes , Kovács 998 P. , Kovács F. , Magó K. , Matolcsi M. , Monori A. , Nagy 737 Gabriella , Papolczy P. , Parádi Cs. , Pócs M. , Podoski Károly. , Pór A. , Sági Z. , Szekeres B. , Szendrői B. , Turányi Z. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Varga Mónika , Vass Zsófia , Weisz Cs. , Wiener G. , Zircher P. |
Füzet: |
1990/november,
370 - 372. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyéb sokszögek hasonlósága, Trapézok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/december: F.2774 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először azt mutatjuk meg, hogy ha egy konvex négyszöget szét lehet vágni egy egyenessel két hasonló négyszögre, akkor az trapéz. Használjuk az 1. ábra jelöléseit. A két négyszög hasonlóságából következik, hogy csúcsaikat egy körüljárás szerint felsorolva, azok úgy feleltethetők meg egymásnak, hogy az egy máshoz rendelt csúcsoknál fekvő szögek megegyeznek.
1. ábra Az összes lehetséges esetet úgy találhatjuk meg, hogy pl. az négyszög csúcsához hozzárendeljük a másik négyszög egy csúcsát ‐ ez négyféle lehetőség ‐ az , , pontokhoz pedig rendre az -hoz rendelt pontot valamelyik körüljárás szerint követő pontokat rendeljük. Mivel két irányban járhatjuk körül a második négyszöget, összesen eset lesz. 1. Az , hasonlóságban képe , képe , képe és képe . Ezért , , tehát ; az eredeti négyszög trapéz. 2. , , hasonlóságban , , , . Ezekből és , tehát az eredeti négyszög most paralelogramma, és így trapéz is. 3. Ha , akkor a , , , . Ezért most , tehát a négyszög trapéz. 4. , ekkor , , , . Ebből , így , a négyszög trapéz. 5. , ekkor , , , . Az előbbi esethez hasonlóan . 6. , akkor , , , . A második és harmadik összefüggésből , ezért ismét . 7. , így , , , . Az első és harmadik egyenlőségből , ezért a négyszög trapéz. 8. , ekkor , , , . Az előző esethez hasonlóan most is . Mindegyik esetben azt láttuk tehát, hogy az eredeti négyszög szükségképpen trapéz. Ezután nézzük az állítás ,,akkor'' részét. Bebizonyítjuk, hogy minden trapéz egy egyenessel két hasonló trapézra vágható. A 2. ábra alapján a hasonlóság szükséges feltétele: Ilyen hosszúságú párhuzamos szakasz az és hosszúságú alapok között nyilván létezik. Ha , akkor pontosan egy ilyen szakasz húzható, esetén pedig bármely ,,középpárhuzamos'' megfelelő.
2. ábra A hasonlósághoz elegendő lesz, ha az egyértelműen adódó, ill. alkalmasan választott , szakaszokra teljesül, hogy hiszen a 2. ábra két részeként létrejött trapézokban a megfelelő szögek egyenlők. Ha , akkor nyilván megfelel. Tegyük fel, hogy , ekkor azaz Helyettesítsük be (1)-et (3)-ba, így | | tehát az (1) feltétel ebben az esetben elegendő is a két trapéz hasonlóságához.
|
|