Feladat: F.2773 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1990/október, 305 - 306. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/december: F.2773

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat eredeti szövegében nem szerepelt kifejezetten, hogy a számegyenes önmagára való leképezését keressük. Ezért elfogadtuk azokat a megoldásokat is, amelyek a számegyenest a sík egy másik egyenesére képezték le. Az alábbi megoldásban f(x) a számegyenes önmagára való leképezését jelenti.
Az f(x)-re szóló feltételek szerint a(ax+b)+b=x, azaz (a2-1)x+b(a+1)=0 fennáll, minden valós x-re. Ez pontosan akkor teljesül, ha

a2-1=0(1)
és
b(a+1)=0.(2)
(1)-ből a=1 vagy a=-1.
Ha a=1, akkor (2)-ből b=0. Ekkor f(x)=x, amely az identikus leképezés.
Ha a=-1, akkor (2)-ből b tetszőleges valós szám. Ebben az esetben
f(x)=-x+b.(3)
Milyen önmagára való leképezése ez a számegyenesnek? Könnyen belátható, hogy az x és -x+b koordinátájú pontok szimmetrikusak a b2 pontra, hiszen x+(-x+b)2=b2.
Ezért a (3) leképezés a b2 pontra való középpontos tükrözés az egyenesen.
A feladat kérdésére tehát azt válaszolhatjuk, hogy f(x) vagy a helybenhagyás, vagy a b2 koordinátájú pontra való tükrözés.
 

Megjegyzés. Feladatunkban a következő tulajdonságú leképezés szerepel: Ha az egyenes P pontjának képe Q, akkor a Q pont képe P. Ez másképpen szólva azt jelenti, hogy a leképezés megegyezik az inverzével. Az egyenes ilyen önmagára való (nem identikus) leképezését involúciónak nevezzük. Involúció például az egyenesnek az f(x)=ax a hozzárendeléssel történő leképezése is.